如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:平面PMC⊥平面PCD
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/18 19:44:59
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:平面PMC⊥平面PCD
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:平面PMC⊥平面PCD
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:平面PMC⊥平面PCD
考点:平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质
专题:证明题
分析:(1)欲证MN∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可,设PD的中点为E,连接AE、NE,易证AMNE是平行四边形,则MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD,满足定理所需条件;
(2)欲证平面PMC⊥平面PCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直,而AE⊥PD,CD⊥AE,PD∩CD=D,根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD,而MN∥AE,则MN⊥平面PCD,又MN⊂平面PMC,满足定理所需条件.
证明:(1)设PD的中点为E,连接AE、NE,
由N为PC的中点知EN
∥
.
1
2
DC,
又ABCD是矩形,∴DC
∥
.
AB,∴EN
∥
.
1
2
AB
又M是AB的中点,∴EN
∥
.
AM,
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD
∴MN∥平面PAD
证明:(2)∵PA=AD,∴AE⊥PD,
又∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE,∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,
∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,
又MN⊂平面PMC,
∴平面PMC⊥平面PCD.
点评:本题主要考查平面与平面垂直的判定,以及线面平行的判定,同时考查了空间想象能力和推理能力,以及转化与划归的思想,属于基础题.