微积分应用题2010当冰雹由高空落下时,它受到地球引力和空气阻力的作用,阻力的大小与冰雹的形状和速度有关,一般可以对阻力作两种假设：（1）阻力大小与下落的速度成正比；（2）阻力大
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 18:38:10
微积分应用题2010当冰雹由高空落下时,它受到地球引力和空气阻力的作用,阻力的大小与冰雹的形状和速度有关,一般可以对阻力作两种假设：（1）阻力大小与下落的速度成正比；（2）阻力大
微积分应用题2010
当冰雹由高空落下时,它受到地球引力和空气阻力的作用,阻力的大小与冰雹的形状和速度有关,一般可以对阻力作两种假设：
（1）阻力大小与下落的速度成正比；
（2）阻力大小与速度的平方成正比；
请根据两种不同的假设,建立速度满足的微分方程,并计算冰雹下落的极限速度（已知初速度v(0)=0、冰雹质量m、重力加速度g、正比例系数k>0）.
怎么做啊
微积分应用题2010当冰雹由高空落下时,它受到地球引力和空气阻力的作用,阻力的大小与冰雹的形状和速度有关,一般可以对阻力作两种假设：（1）阻力大小与下落的速度成正比；（2）阻力大
先分析冰雹下落过程的运动状况.1、开始下落时,冰雹初速度为0,此时因为受重力的作用,冰雹有加速度g,因此冰雹将开始加速下落；2、以速度v下落的冰雹继续受重力外,还开始受到空气阻力作用（kv或者kv^2）,因此,冰雹虽然仍加速下落,但加速度已小于g；3、当冰雹下落达到一定速度,使冰雹受到的重力等于所受到的空气阻力时,此时冰雹的加速度为0,此后冰雹将保持这一速度匀速下落.因此,这个速度就是极限速度.
第一种情况,设空气阻力f=kv,则mg-kv=m*dv/dt,达到极限速度时,加速度dv/dt=0,解得v=mg/k
同理,第二种情况mg-kv^2=m*dv/dt,极限速度为根号（mg/k）
为了书写方便，记b=k/m
1，F阻力 = kv
F合力 = mg - kv
ma = mg - kv
g - bv = a = dv/dt
结合v(0)=0可以解出
v = g/b - exp(-bt)
t→∞时，v=g/b=mg/k
2，F阻力 = kv^2
F合力 = mg - kv^2
ma = mg - kv...
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为了书写方便，记b=k/m
1，F阻力 = kv
F合力 = mg - kv
ma = mg - kv
g - bv = a = dv/dt
结合v(0)=0可以解出
v = g/b - exp(-bt)
t→∞时，v=g/b=mg/k
2，F阻力 = kv^2
F合力 = mg - kv^2
ma = mg - kv^2
g - bv^2 = a = dv/dt
结合v(0)=0可以解出
v = √g(exp(2t√(bg)) -1)/[√b(exp(2t√(bg)) + 1]
t→∞时，v=√(g/b)=√(mg/k)
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