给出康托三分集直观、简洁、明了的描述.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 07:31:21
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康托尔三分集（德国,1883年）
1883年,德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合：
取一条长度为1的直线段E0,将它三等分,去掉中间一段,剩下两段记为E1,将剩下的两段再分别三等分,各去掉中间一段,剩下更短的四段记为E2,……,将这样的操作一直继续下去,直至无穷,由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下,得到一个离散的点集F（图8）,称为康托尔三分集.
图2.1
在康托尔三分集的构造过程中,如果每一步都用掷骰子的方法来决定去掉被分成的三段中的哪一段,或来选择子区间的长度,就会得到很不规则的随机康托尔集（图9-（a）、图9-（b））,它被当时在美国IBM公司供职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的数学模型,如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.
图9
想一想：1.康托尔三分集在极限情况下,是怎样的结构?它的整体与局部之间有怎样的关系?
2.康托尔三分集有那些性质?能用传统的集合表示法表示吗?它的长度是多少?
3.试以一个平面图形（正方形）为初始元,来构造一个分形集,将正方形16等分,保留其中的4个,而舍去其余的；然后对保留的4个小正方形作同样操作,以至无穷,形成点集——康托尘埃集.
参考答案：康托三分集中有无穷多个点,所有的点处于非均匀分布状态.此点集具有自相似性,其局部与整体是相似的,所以是一个分形系统,如图2·1所示,其中E.是康托尔点集的初始元[0,1]线段,E1是生成元.图4.2是康托尔点集的前三代.
康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机.用传统的几何学术语难以描述,它既不满足某些简单条件如点的轨迹,也不是任何简单方程的解集.其局部也同样难于描述.因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在.（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一.