等边三角形角ABC外一点,且角BPC=120度.猜想BP、PC、AP之间的数量关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 13:52:30
等边三角形角ABC外一点,且角BPC=120度.猜想BP、PC、AP之间的数量关系
等边三角形角ABC外一点,且角BPC=120度.猜想BP、PC、AP之间的数量关系
等边三角形角ABC外一点,且角BPC=120度.猜想BP、PC、AP之间的数量关系
PB+PC=PA
延长CP,在其延长线上取O点,使PO=PB.连接BO
∠BPC=120°,则∠BPO=60°,则三角形BPO为等边三角形
则BP=BO,∠PBO=60°=∠ABC
∠CBO= ∠CBP+∠PBO;∠ABP= ∠ABC+∠CBP
即∠CBO=∠ABP；又AB=BC,BP=BO
即三角形 ABP 与 CBO 全等
PA=CO=CP+PO=PC+PB
PA＝PB＋PC。 证明如下：
∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， 而∠BPC＝120°，
∴∠BAC＋∠BPC=180°， ∴A、B、P、C共圆， ∴∠APC＝∠ACB＝60°。
∵∠ABP＝∠ABC＋∠CBP＞∠ABC＝60°，∠APB＝60°，∴∠ABP＞∠APB，∴PA＞PB，
∴可在PA上取一点D，使PD＝PB。
∵...
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PA＝PB＋PC。 证明如下：
∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， 而∠BPC＝120°，
∴∠BAC＋∠BPC=180°， ∴A、B、P、C共圆， ∴∠APC＝∠ACB＝60°。
∵∠ABP＝∠ABC＋∠CBP＞∠ABC＝60°，∠APB＝60°，∴∠ABP＞∠APB，∴PA＞PB，
∴可在PA上取一点D，使PD＝PB。
∵A、B、P、C共圆，∴∠PCB＝∠DAB。
∵∠BPD＝60°、PB＝PD，∴△PBD是等边三角形，∴∠PDB＝60°，∴∠BDA＝120°。
∵△ABC是等边三角形，∴BC＝BA，结合证得的∠PCB＝∠DAB、∠BPC＝∠BDA=120°，得：
△PBC≌△DBA，∴PC＝DA。
显然，PA＝PD＋DA，而PC＝DA、PD＝PB， ∴PA＝PB＋PC。
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