一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,

一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,
一元二次不等式 (9 19:18:11)
设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,

一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,
假设存在这样的a,b,c
则:由f(1)=7/2得:
a+b+c=7/2,
a=7/2-b-c
由于:
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)
即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)
对一切实数X都成立,
则有:
(7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以:
(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,
则:b=2,c=-1/2,a=2
此时,x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2
并非对一切x都成立.
(2)7/2-b-c-21.5①,
b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤(7/2-b-c)x^2+bx+c
对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0,
△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c

解:
假设存在这样的a,b,c
则:由f(1)=7/2得:
a+b+c=7/2,
a=7/2-b-c
由于:
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)
即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)
对一切实数X都成立，
则有:
(7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以:
(1)7...

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解:
假设存在这样的a,b,c
则:由f(1)=7/2得:
a+b+c=7/2,
a=7/2-b-c
由于:
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)
即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)
对一切实数X都成立，
则有:
(7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以:
(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,
则:b=2,c=-1/2,a=2
此时,x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2
并非对一切x都成立。
(2)7/2-b-c-2<0,
且△=(b-2)^2-4(3/2-b-c)(c-3/2)≤0
b+c>1.5①,
b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤(7/2-b-c)x^2+bx+c
对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0,
△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c<2.5③,
b^2+4bc+4c^2-2b-12c+5 ≤0④

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我先来证左边部分：
记G（x)=x^2+1/2-(ax^2+bx+c) =(1-a)x^2-bx+(1/2-c)
题目就是要证 对任意x,G（x)<=0恒成立。
当a<1时，显然G（X）的图象开口向上，显然不成立；
又f(1)=7/2,可得a+b+c=7/2, 所以c=7/2 -（a+b)
所以 当a=1时，bx>=1/2 - c =1/2- 7/2+a+...

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我先来证左边部分：
记G（x)=x^2+1/2-(ax^2+bx+c) =(1-a)x^2-bx+(1/2-c)
题目就是要证 对任意x,G（x)<=0恒成立。
当a<1时，显然G（X）的图象开口向上，显然不成立；
又f(1)=7/2,可得a+b+c=7/2, 所以c=7/2 -（a+b)
所以 当a=1时，bx>=1/2 - c =1/2- 7/2+a+b=-3+1+b=b-2
即bx>=b-2对任意x都 要恒成立，则b=0，这时f(x)=x^2+5/2
要满足x^2+5/2<=2x^2+2x+3/2对任意x也要成立，即-x^2-2x+1<=0,
也就是-(x+1)^2 +2<=0恒成立，显然左边的不等式对任意x并不成立；
当a>1时，G(x)=(1-a)x^2-bx+(1/2-c)<=0要恒成立的话，就要满足（因为开口向下）判别式小于或等于0即G（x)<=0就恒成立。
△=b^2-4(1-a)(1/2-c)=b^2+4(1-a)(a+b+3)=(2a-b)^2-4(2a-b)+12=[(2a-b)-2]^2+8>0，所以这样x不是任意值。
综上，对于任意x,不存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)对一切实数x都成立.
所以对于任意x,不存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x) ≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立.

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