已知x,y,z≥0且x+y+z=1,求函数f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 06:57:08
已知x,y,z≥0且x+y+z=1,求函数f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z的最大值和最小值
已知x,y,z≥0且x+y+z=1,求函数f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z的最大值和最小值
已知x,y,z≥0且x+y+z=1,求函数f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z的最大值和最小值
f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z <= x+2y+Z*10/3 = 1+Y+Z*7/3 <= 1+(1-Z)+Z*7/3 <= 2+Z*4/3 <= 2+4/3 = 10/3
<=是小于等于的意思
所以f(x,y,z)<＝10/3,而取Z＝1时,函数＝10/3,所以10/3是最大值
最小值还没搞出来,有了补上
由0<=x,y,z<=1得
x^3<=x y^2<=y
x^3+2y^2+10/3*z<=(x+y+z)+(y+z)+4/3*z<=10/7
当x=y=0,z=1时取等
答案：最大值为10/3，最小值为14/27
f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z<=x+2y+10/3z<10/3x+10/3y+10/3z=10/3(x+y+z)=10/3，当x=y=0,z=1时等号成立，所以最大值为10/3；
3x(x+z)+z^2<=3x+z<=3,所以
f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z>=x^3+2y^2+3z>=...
全部展开
答案：最大值为10/3，最小值为14/27
f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z<=x+2y+10/3z<10/3x+10/3y+10/3z=10/3(x+y+z)=10/3，当x=y=0,z=1时等号成立，所以最大值为10/3；
3x(x+z)+z^2<=3x+z<=3,所以
f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z>=x^3+2y^2+3z>=2y^2+x^3+z[3x(x+z)+z^2]=2y^2+(x+z)^3=2y^2+(1-y)^3,而2y^2+(1-y)^3的最小值为14/27，在y=1/3取得，所以x=2/3,y=1/3,z=0时取最小值14/27.
收起
已知x,y,z≥0且x+y+z=1,z=1-x-y,
f(x,y,z)=x^3+2y^2+10/3z=x^3+2y^2+10/3(1-x-y)
=x^3+2y^2+10/3-10/3x-10/3y
=x(x^2-10/3)+2y(y-5/3)+10/3
因为0≤x≤1,0≤y≤1,
所以x^2-10/3<0,,y-5/3<0,
所以f(x,y,z)≤10/3,当x=y=0,z=1时，有最大值10/3.