设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左式上、下限分别为ξ、a；右式上、下限分别为b、ξ)另希望能告诉一下这种类型的题目的解题思路是什么?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/18 22:33:33

设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左式上、下限分别为ξ、a；右式上、下限分别为b、ξ)另希望能告诉一下这种类型的题目

设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左式上、下限分别为ξ、a；右式上、下限分别为b、ξ)另希望能告诉一下这种类型的题目的解题思路是什么?
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左式上、下限分别为ξ、a；右式上、下限分别为b、ξ)
另希望能告诉一下这种类型的题目的解题思路是什么?

设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左式上、下限分别为ξ、a；右式上、下限分别为b、ξ)另希望能告诉一下这种类型的题目的解题思路是什么?
令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第一个积分限a到x,第二个积分限x到b）,根据变上限积分的求导法则,g'(x)=f(x)∫f(t)dt（积分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（积分限a到x）,由于g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（积分限a到b）,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0,即f(ξ)∫f(t)dt（积分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（积分限a到ξ）,由于f(ξ)>0,上式两边除f(ξ)即得要证的等式.
这种题关键就在于构造辅助函数,一般将要证的式子变形,其中有ξ的地方换成x,为了用罗尔定理,就要让辅助函数在区间端点的函数值相等,且想办法让辅助函数的导函数等于0时的表达式和要证的等式尽可能相似.

设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且f'(x) 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) 证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续. 设f(x) 在[a,b] 上连续,且f(x)>0.求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2. 设f(x)在[a,b]上连续,且没有零点,证明f(x)在[a,b]上保号设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2) 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设f(x)在闭区间（a,b)上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,且a 一条简单的函数连续和极限问题设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)>g(a),f(b) 微积分定积分证明 “设f(x)为正,且在[a,b]上连续...”