一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离超过一米的概率为.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 06:36:56
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一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离超过一米的概率为.
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一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离超过一米的概率为.
其实这个问题就等于问距三角形三个顶点的距离均超过1的面积占三角形总面积的比
可先求距三角形任意顶点的距离不超过1的面积,即三个扇形的面积
每个扇形的圆心角为60°,即60/360=1/6个圆
可求其面积=π*1²*1/6=1/6π
三个扇形的面积=1/6π*3=1/2π
三角形面积=4*（√3）/2*4*1/2=4*（√3）
所以距三角形三个顶点的距离均超过1的面积=4*（√3）-1/2π
（4*（√3）-1/2π）/4*（√3）≈0.7734
所以某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为0.7734
问题求的是距离三个顶点都超过1的范围,因为这个面积不好求,所以换算成距离任意一个顶点不超过1的面积（前者面积+后者面积=三角形面积）,因为是正三角形,所以每个角都是60°,而到一个点的距离不超过1的面积应为圆形面积,在三角形中的就是1/6个圆的面积.

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