组合数求和,求下式和,请赐教因为知道不能打公式,没法输入组合数形式,所以只能截图传到空间里请赐教

组合数求和,求下式和,请赐教因为知道不能打公式,没法输入组合数形式,所以只能截图传到空间里请赐教
组合数求和,求下式和,请赐教
因为知道不能打公式,没法输入组合数形式,所以只能截图传到空间里
请赐教

组合数求和,求下式和,请赐教因为知道不能打公式,没法输入组合数形式,所以只能截图传到空间里请赐教
我用C(i/n)表示里面的组合项吧
C(i/n)^2=C(i/n)*C((n-i)/n) 这个不难理解吧.
然后我们考察多项式(1+x)^(2n)
把它的第n次的系数写出来就是C(n/(2n))
但从另一方面考虑(1+x)^(2n)=(1+x)^n*(1+x)^n
把两项分别用二项式展开,再求其第n次的系数,那么可以得到你左边的那个求和式了.
还不懂的话我再补充说明吧.

C(m,n)表示从n个数中取m个进行组合
C(m,n)=C(n-m,n)
(1+x)^2n=(k=1,2,3,……,2n)∑C(k,2n)x^k
其中x^n的系数为C(n,2n)
(1+x)^2n=(1+x)^n*(1+x)^n
=[(k=1,2,3,……,n)∑C(k,n)x^k]*[(k=1,2,3,……,n)∑C(k,n)x^k]
=(∑...

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C(m,n)表示从n个数中取m个进行组合
C(m,n)=C(n-m,n)
(1+x)^2n=(k=1,2,3,……,2n)∑C(k,2n)x^k
其中x^n的系数为C(n,2n)
(1+x)^2n=(1+x)^n*(1+x)^n
=[(k=1,2,3,……,n)∑C(k,n)x^k]*[(k=1,2,3,……,n)∑C(k,n)x^k]
=(∑C(k,n)x^k)(∑C(k,n)x^(n-k))
x^n系数为(k=1,2,3,……,n)∑C(k,n)^2
所以(k=1,2,3,……,n)∑C(k,n)^2＝C(n,2n)

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(n,m)表示n选m
第k项，(k,n)^2=(k,n)*(n-k,n)【*】
考虑一个事迹例子，二项式(1+x)^(2n)=(1+x)^n(1+x)^n中x^n的系数，显然根据式子等式左边可得为(2n,n)
观察式子等号右边可得，则x^n的系数为(1+x)^n中x^k的系数与(1+x)^n中x^(n-k)的系数的乘积
则(2n,n)=(0,n)(n,n)+(1,n...

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(n,m)表示n选m
第k项，(k,n)^2=(k,n)*(n-k,n)【*】
考虑一个事迹例子，二项式(1+x)^(2n)=(1+x)^n(1+x)^n中x^n的系数，显然根据式子等式左边可得为(2n,n)
观察式子等号右边可得，则x^n的系数为(1+x)^n中x^k的系数与(1+x)^n中x^(n-k)的系数的乘积
则(2n,n)=(0,n)(n,n)+(1,n)(n-1,n)+...+(n,n)(0,n)
由【*】得，
(2n,n)=(0,n)^2+...+(n,n)^2

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Cn^0=cn^n (^不是幂，方便区分而已）
cn^1=cn^(n-1)
。。。
Cn^n=Cn^0
所以：原式＝Cn^0*Cn^n+Cn^1*Cn^(n-1)+...+Cn^n*Cn^0
现在的问题变成了求这个式子的和，很熟悉了吧。随便建个模型，比如一个班级有2n个人，把人分为两组，每组n个人，现在随即从两组中挑选n个人，那么可能的情况有多少种...

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Cn^0=cn^n (^不是幂，方便区分而已）
cn^1=cn^(n-1)
。。。
Cn^n=Cn^0
所以：原式＝Cn^0*Cn^n+Cn^1*Cn^(n-1)+...+Cn^n*Cn^0
现在的问题变成了求这个式子的和，很熟悉了吧。随便建个模型，比如一个班级有2n个人，把人分为两组，每组n个人，现在随即从两组中挑选n个人，那么可能的情况有多少种？那么可能性就是上面的求式的和。即：变成了第一个n人中选取m个，则第二个n中选取n-m个。即上面的求式。
而同时，实际上就是从2n中选取了n个人，那么可能性即为C2n^n
得证

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Cn0=Cnn。。。Cni=Cn(n-i)...Cnn=Cn0
故上式可化成Cn0*Cnn+....+Cnn*Cn0
可以看成：有一个袋子，里面有n各红球，n个白球，从中取n个球共有多少种取法。
等式右边就是从2n的球中取n个球的组合表示法
等式左边是取0个红，n个白；1个红，n-1个白；。。。。n个红，0个白的取法。
同样的问题两种算法而已。因此两边相等。...

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Cn0=Cnn。。。Cni=Cn(n-i)...Cnn=Cn0
故上式可化成Cn0*Cnn+....+Cnn*Cn0
可以看成：有一个袋子，里面有n各红球，n个白球，从中取n个球共有多少种取法。
等式右边就是从2n的球中取n个球的组合表示法
等式左边是取0个红，n个白；1个红，n-1个白；。。。。n个红，0个白的取法。
同样的问题两种算法而已。因此两边相等。
不懂可以再问啊

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