若f'(a)存在,证明lim xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a) (x趋近a)

若f'(a)存在,证明lim xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a) (x趋近a)
若f'(a)存在,证明lim xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a) (x趋近a)

若f'(a)存在,证明lim xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a) (x趋近a)
这种堆砌方法很有用,要留意:
[xf(a)-af(x)]/(x-a)= [xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)]/(x-a)= [xf(a)-af(a)]/(x-a)+[af(a)-af(x)]/(x-a)
=f(a)+[af(a)-af(x)]/(x-a)=
=f(a)-[af(x)-af(a)]/(x-a)
=f(a)- a[f(x)-f(a)]/(x-a)
两边做lim (x趋近a)得 lim xf(a)-af(x)/x-a= lim f(a) - lim a[f(x)-f(a)]/(x-a) = f(a)- a f'(a)

注：本题不能用洛必达法则做，若用洛必达必须增加条件，f'(x)存在且f'(x)连续才行。因此本题只能用导数定义。
设g(x)=xf(a)-af(x)，则g(a)＝0，显然g(x)在x=a处连续可导
则原式左边=lim [g(x)-g(a)]/(x-a)=g'(a)=f(a)-af'(a)=右边

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