无限不循环小数的疑惑无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/18 13:36:33

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无限不循环小数的疑惑无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?
无限不循环小数的疑惑
无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?

无限不循环小数的疑惑无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?
无限不循环小数就是无理数,而有理数包括整数和分数（分数包括有限小数和无限循环小数）.所以只要证明一个数不是整数和分数,那么这个数只能是无理数,也就是无限不循环小数.比如根号2,运用反证法,假设根号2=p/q,即一个分数,且p和q互质.那么有两种情况：p和q均为奇数,所以p^2和q^2也是奇数,但是由根号2=p/q即p^2=2*q^2,所以p^2是偶数,矛盾.第二种情况：一个奇数一个偶数,不妨设p奇q偶,那么p^2为奇数,q^2为偶数,但p^2=2*q^2,所以矛盾,如果p偶q奇,所以p^2是4的倍数,而q^2是奇数,但p^2=2*q^2,则q^2也应是偶数,否则p^2不是4的倍数,矛盾.我们已经假设p和q互质,所以不能都是偶数,故根号2不是分数,当然也不是整数,只能是无理数

只要证明它是无理数(无限不循环小数)就可以了!

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