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来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 12:23:24
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数学上,高斯消元法（或译：高斯消去法）,是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵.当用于一个矩阵时,高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”.高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数.不过,如果有过百万条等式时,这个算法会十分费时.一些极大的方程组通常会用叠代法来解决.亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组.
高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：
2x + y - z = 8 (L1)
-3x - y + 2z = -11 (L2)
-2x + y + 2z = -3 (L3)
这个算法的原理是：
首先,要将L1 以下的等式中的x 消除,然后再将L2 以下的等式中的y 消除.这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式.之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中,就可求出其余的答案了.
在刚才的例子中,我们将3/2 L1和L2相加,就可以将L2 中的x 消除了.然后再将L1 和L3相加,就可以将L3 中的x 消除.
我们可以这样写：
L2 + 3/2 L1→ L2
L3 + L1 → L3
结果就是：
2x + y - z = 8
1/2 y + 1/2 z = 1
2y + z = 5
现在将 − 4L2 和L3 相加,就可将L3 中的y 消除：
L3 + -4 L2 → L3
其结果是：
2x + y - z = 8
1/2y + 1/2z = 1
-z = 1
这样就完成了整个算法的初步,一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了.
第二步,就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数.第一个答案就是：
z = -1
然后就可以将z 代入L2 中,立即就可得出第二个答案：
y = 3
之后,将z 和y 代入L1 之中,最后一个答案就出来了：
x = 2
就是这样,这个方程组就被高斯消元法解决了.
这种算法可以用来解决所有线性方程组.即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式,高斯消元法仍可找出它的解.例如在第一步化简后,L2 及L3 中没有出现任何y ,没有三角形的格式,照着高斯消元法而产生的格式仍是一个行梯阵式.这情况之下,这个方程组会有超过一个解,当中会有至少一个变量作为答案.每当变量被锁定,就会出现一个解.
通常人或电脑在应用高斯消元法的时候,不会直接写出方程组的等式来消去未知数,反而会使用矩阵来计算.以下就是使用矩阵来计算的例子：
2 1 -1 8
-3 -1 2 -11
-2 1 2 -3
跟着以上的方法来运算,这个矩阵可以转变为以下的样子：
2 1 -1 8
0 1/2 1/2 1
0 0 -1 1
这矩阵叫做“行梯阵式”.
最后,可以利用同样的算法产生以下的矩阵,便可把所得出的解或其限制简明地表示出来：
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 -1
最后这矩阵叫做“简化行梯阵式”,亦是高斯－约当消元法指定的步骤.
就是给你N个含有N个未知数的等式
比如：给你3个未知数和3个等式。
3x1+5x2+x3=4
x1+x2-2x3=3
2x1-4x2+x3=5
使用高斯消元能够求出一组x1、x2、x3满足以上等式。