如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km.为了处理三家工厂的污水,现要在矩形区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/06 00:39:04
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km.为了处理三家工厂的污水,现要在矩形区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km.
为了处理三家工厂的污水,现要在矩形区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记排污管道的总长为ykm
(1)按下列要求建立函数关系式;
①设∠BAO=θ(rad),将y表示为x的函数
②设OP=x(km),将y表示为x的函数
(2)请你选用⑴中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长的最短
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km.为了处理三家工厂的污水,现要在矩形区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三
1)
AO=BO=10cosθ
PO=10-10sinθ
所以y=10+20cosθ-10sinθ
2)
AO=BO=√[100+(10-x)^2]
PO=x
所以y=2√[100+(10-x)^2]+x
3)
y=10+20cosθ-10sinθ
=10+20cosθ-10√(1-cos^2θ)
θ在0-45度之间
cosθ在√2/2-1之间
设cosθ=t,则t在【√2/2,1】
y=10+20t-10√(1-t^2)
两边求导:y'=[20√(1-t^2)-20t]/√(1-t^2)
y'=0时,t=√2/2,所以此时y有最小值=10+5√2
即θ=45度时,P在DC上,铺设的排污管道的总长的最短
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