无穷递缩等比数列一根长度为a的木棍,第一次截去1/(2的平方),第二次截去剩余部分的1/(3的平方),第三次截去剩余部分的1/(4的平方),.,如此继续下去,最后木棍剩余多长?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 08:43:01
无穷递缩等比数列一根长度为a的木棍,第一次截去1/(2的平方),第二次截去剩余部分的1/(3的平方),第三次截去剩余部分的1/(4的平方),.,如此继续下去,最后木棍剩余多长?
无穷递缩等比数列
一根长度为a的木棍,第一次截去1/(2的平方),第二次截去剩余部分的1/(3的平方),第三次截去剩余部分的1/(4的平方),.,如此继续下去,最后木棍剩余多长?
无穷递缩等比数列一根长度为a的木棍,第一次截去1/(2的平方),第二次截去剩余部分的1/(3的平方),第三次截去剩余部分的1/(4的平方),.,如此继续下去,最后木棍剩余多长?
相当于求无穷乘积(1-1/(2的平方))*(1-1/(3的平方))*(1-1/(4的平方))*.
=lim(n+1)/n*1/2
=1/2
长度为a/2
（1）我们知道正数和零统称为非负数,同学们已经学过_平方、绝对值__的结果都是非负数,非负数的基本性质是和大于等于0
__.你能利用这个性质解答下列问题吗?已知(A-2)的2次方＋（B＋3）的2次方＋│C－5│＝0，求A－2B＋（C的2次方）的值．
A-2=0
B+3=0
C-5=0
A=2
B=-3
C=5
A-2B...
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（1）我们知道正数和零统称为非负数,同学们已经学过_平方、绝对值__的结果都是非负数,非负数的基本性质是和大于等于0
__.你能利用这个性质解答下列问题吗?已知(A-2)的2次方＋（B＋3）的2次方＋│C－5│＝0，求A－2B＋（C的2次方）的值．
A-2=0
B+3=0
C-5=0
A=2
B=-3
C=5
A-2B+C^2=2-2*[-3]+25=33
（2）一根长度为1米的木棍，第一次截去全长的1／2，第二次截去余下的1／3，第三次截去了余下的1／4······若连续100次，共截去多少米？
1*[1-1/2]*[1-1/3][1-1/4]*...*[1-1/100][1-1/101]
=1*1/2*2/3*3/4*...*99/100*100/101
=1/101
即最后余下1/101米，因此共截去：1-1/101=100/101米。
问题补充：3.观察下列各式:1×1×1+2×2×2=9=1/4×4×9=1/4×2×2×3×3;1×1×1+2×2×2+3×3×3=36=1/4×9×16=1/4×3×3×4×4;若N为正整数,试猜想1×1×1+2×2×2+3×3×3+···+N×N×N等于多少?并利用此结论比较1×1×1+2×2×2+3×3×3+···+100×100×100与(-5000)×(-5000)的大小.
1*1*1+2*2*2+3*3*3+。。。+n*n*n=1/4*n^2*(n+1)^2
1*1*1+2*2*2+...+100*100*100=1/4*100*100*101*101
[-5000]*[-5000]=1/4*100*100*100*100
所以，前者大于后者。
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由题我们知道剩余长度得表达式为
l=a*(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*...*(1-1/n^2)
=a*[(1*3)/(2*2)]*[(2*4)/(3*3)]*[(3*5)/(4*24)]*...*[(n-1)*(n+1)/(n*n)]
=a*(1/2)*[(n+1)/n]
当n趋于无穷时，
l=1/2a
首先，计算公式应为1*(1-1/4)*(1-1/9)*...*(1-1/(n*n))
而最后剩余的部分，即为n趋向于无穷时上式的值。
将各部分通分，然后分子分解成(n-1)*(n+1)的形式，
可知最后的值为(n+1)/2n，这即为n次后剩余的长度。
n趋向于无穷时，值为1/2。
这里，认为原长为1，如果改为a的话，将值再乘以a即可。...
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首先，计算公式应为1*(1-1/4)*(1-1/9)*...*(1-1/(n*n))
而最后剩余的部分，即为n趋向于无穷时上式的值。
将各部分通分，然后分子分解成(n-1)*(n+1)的形式，
可知最后的值为(n+1)/2n，这即为n次后剩余的长度。
n趋向于无穷时，值为1/2。
这里，认为原长为1，如果改为a的话，将值再乘以a即可。
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