正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/13 04:22:37
正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.
(1) 求证：DF=EF；
(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
连接BE、PD,过点P作AD的垂线,垂足为G,
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点,
∴点O为正方形中心,且AC平分∠DAB和∠DCB,
∵PE⊥PB,BC⊥CE,
∴B、C、E、P四点共圆,
∴∠PEB=∠PCB=45°,∠PBE=∠PCE=45°,
∴∠PBE=∠PEB=45°,
∴△PBE为等腰直角三角形,
∴PB=PE,
在△PAB和△PAD中有：AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,AP为公共边,
∴△PAB≌△PAD（SAS）,
∴PB=PD,
∴PE=PD,
又∵PF⊥CD,
∴DF=EF；
②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA= √2PG,PC= √2CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA= √2EF,
∴PC= √2CF= √2（CE+EF）= √2CE+ √2EF= √2CE+PA,
即,PC、PA、CE满足关系为：PC= √2CE+PA；
（1）延长FP交AB于M，作PN⊥AD于N，则四边形AMPN是正方形，AM=PM=PM=AN。
因为AD=AB，所以，BM=DN；
显然，四边形PFDN是矩形，所以，PF=DN=BM，DF=PN=PM。
因为PB⊥PE，PF⊥CD，所以，角MPB+角EPF=90度，角PEF+角EPF=90度，
所以，角MPB=角PEF，又因为，角BMP=角PFE=90度，
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（1）延长FP交AB于M，作PN⊥AD于N，则四边形AMPN是正方形，AM=PM=PM=AN。
因为AD=AB，所以，BM=DN；
显然，四边形PFDN是矩形，所以，PF=DN=BM，DF=PN=PM。
因为PB⊥PE，PF⊥CD，所以，角MPB+角EPF=90度，角PEF+角EPF=90度，
所以，角MPB=角PEF，又因为，角BMP=角PFE=90度，
所以，三角形BPM全等三角形PEF，所以，PM=EF，
所以，DF=EF。
（2）PC-PA=根号2CE。
在正方形AMPN中，PA=根号2PN=根号2DF=根号2EF，
在等腰直角三角形PCF中，PC=根号2CF，
所以，PC-PA=根号2（CF-EF）=根号2CE。
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