[数学]三角形概率及面积计算2方法不限，但必须保证方法的正确性问题3最好先求出一般情况下的解（解析解），再求具体数字
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 16:57:25
[数学]三角形概率及面积计算2方法不限，但必须保证方法的正确性问题3最好先求出一般情况下的解（解析解），再求具体数字
[数学]三角形概率及面积计算
2方法不限，但必须保证方法的正确性
问题3最好先求出一般情况下的解（解析解），再求具体数字
[数学]三角形概率及面积计算2方法不限，但必须保证方法的正确性问题3最好先求出一般情况下的解（解析解），再求具体数字
（3）设三角形三边为a>b ≥ c, a对的角为钝角,于是
a² > b² + c²
首先要指出一个事实：当三角形两边之和固定时,差越小,面积越大.
不妨假设a,b,c使得三角形面积最大（由于是整数,只有有限种情况,最大一定存在.若非整数,最大值也是存在的,不过要用到高等数学的知识）
如果b > c+1,那么：
a² > b² + c² > (b-1)² + (c+1)²,但由a, b-1, c+1组成的钝角三角形面积更大,矛盾.
所以b = c或b = c+1
下面考虑a-1, b, c+1,由于它肯定不是面积最大的钝角三角形,所以
(a-1)² ≤ b² + (c+1)²
于是a² - b² - c² ≤ 2(a+c) . (*)
事实上,只要a,b,c满足b = c或b = c+1,a² - (b² + c²) > 0 且最小,一定满足上述条件,且是唯一的一组(a,b,c).此即为所求.
唯一性与存在性：设f(a,b,c) = a² - (b² + c²).b和c的地位可看作是对称的,只是至多相差1,约束条件是a+b+c=定值.
如果 f(a,b,c) > 2(a+c),考虑f(a-1,b, c+1) = f(a,b,c) - 2(a+c),显然更小.而最小值总是存在的（正整数不能无穷减少）
唯一性：由上面可以看出,取得最小值的(a,b,c)稍微变一下,就不满足条件(*).而取到最小值的(a,b,c)是唯一的.
下面求解a+b+c = 2013时的最小值.
大概是个等腰直角三角形,用2013/(2+√2)试一下,b大概在590附近,
f(833,590,590) = -2311,
f(834,590,589) = 535
所以834,590,589是最小的解.至于面积,用海伦公式算就可以了
设线段两端为A，D，
中间两点位B，C，折叠后AD重叠（如果构成三角形）
B点必须在中点左侧，所以概率为1/2（B点在线段AD中点左侧的概率）
C点必须在BD中点的左侧， 概率1/4
所以1的答案是1/2*1/4 = 1/8
第三问就容易了
x+y+z=2013
等边是x=671
一边增长2，另两边减少1
直到成钝角即可"C点...
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设线段两端为A，D，
中间两点位B，C，折叠后AD重叠（如果构成三角形）
B点必须在中点左侧，所以概率为1/2（B点在线段AD中点左侧的概率）
C点必须在BD中点的左侧， 概率1/4
所以1的答案是1/2*1/4 = 1/8
第三问就容易了
x+y+z=2013
等边是x=671
一边增长2，另两边减少1
直到成钝角即可
收起
下面是详细 (1) 1/4=25%。 设左线段长L1，右线段长L2。则概率密度在0<L1，0<L2，L1+L2<1的(L1，L2)空间里均匀分布，就是图里的黑线区域。 下图左边的三根红线围成的区域就是（1）的区域：L1=1/2，L2=1/2，L1+L2=1/2。容易求出面积=1/8，故概率=(1/8)/(1/2)=1/4。 (2) 12×ln(2)-8。 下图右边的三根红线围成的区域就是（2）的区域：L1²+L2²=(1-L1-L2)²，L1²+(1-L1-L2)²=L2²，L2²+(1-L1-L2)²=L1²，积分一下（过程有点琐碎，不过确实都是可以积分的）可以得到3×ln(2)-2这个值。然后把这个值除以1/4（第一题的答案），就是最终的解。 (3) 面积约17375，边长为589，590和834。 总之，就是越接近1:1:√2，就行了，三边长为589，590和834。面积代个海伦公式就完了。 (1)和(2)已经用编程里的蒙特卡罗方法验证过，(3)用编程里的穷举法也验证过，答案应该都是对的。