超级超大难题：一个竹竿折成3段,组成锐角三角形的概率大?还是组成钝角三角形大?为什么？

超级超大难题：一个竹竿折成3段,组成锐角三角形的概率大?还是组成钝角三角形大?为什么？
超级超大难题：一个竹竿折成3段,组成锐角三角形的概率大?还是组成钝角三角形大?
为什么？

超级超大难题：一个竹竿折成3段,组成锐角三角形的概率大?还是组成钝角三角形大?为什么？
现将江边枫荻的解法一补充完整,求出最终答案：
设竹竿全长为1.建立空间直角坐标系OXYZ.用此坐标系中的点的坐标表示竹竿分成的三段的长,则有
x＋y＋z＝1.①
其中,x＞0,y＞0,z＞0.
式①表示一平面.设该平面交X轴于A,交Y轴于B,交Z轴于C.连AB、BC、CA.可知：A、B、C的坐标分别为（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1）；OA＝OB＝OC＝1；AB＝BC＝CA＝√2；△ABC的面积＝（√3）／2.
除了边上的点之外,△ABC内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足x＞0,y＞0,z＞0和式①.
x、y、z能构成三角形,须满足
x＋y＞z,y＋z＞x,z＋x＞y.②
取如下三个平面：
x＋y＝z,y＋z＝x,z＋x＝y.③
设这三个平面与△ABC的交线分别为直线α、β、γ.可推知：α、β与CA的交点都是（1／2,0,1／2）,β、γ与AB的交点都是（1／2,1／2,0）,γ、α与BC的交点都是（0,1／2,1／2）.此三点分别以D、E、F表示.D、E、F恰是△ABC三边的中点.因此,△DEF的面积是△ABC的面积的1／4,即等于（√3）／8.
除了边上的点之外,△DEF内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足条件②.
∴将一根竹竿任意折成三段,能组成三角形的概率为
△DEF的面积／△ABC的面积＝1／4.
x、y、z能构成钝角三角形,须满足
x^2＋y^2＜z^2,y^2＋z2＜x^2,z^2＋x^2＜y^2.④
x、y、z能构成锐角三角形,须满足
x^2＋y^2＞z^2,y^2＋z2＞x^2,z^2＋x^2＞y^2.⑤
取如下三个曲面：
x^2＋y^2＝z^2,y^2＋z2＝x^2,z^2＋x^2＝y^2.⑥
设这三个曲面与△DEF的交线分别为曲线δ、ε、ζ.
将原空间直角坐标系进行一次平移和两次旋转,得到新坐标系,仍以OXYZ表示.新的原点O在FD的中点,X轴的正向为射线OD的方向,Y轴的正向为射线OE的方向,Z轴垂直于△DEF所在平面.这样就把空间问题变成了平面z＝0上的问题.
在平面z＝0上,
D：（√2／4,0）,
E：（0,√6／4）,
F：（－√2／4,0）；
DE：x＋（√3／3）y＝√2／4,
EF：x－（√3／3）y＝－√2／4,
FD：y＝0；
δ：6x^2＋（3√6）y－2y^2＝3／4,δ过F、D,
ε：（3√2）x＋（4√3）xy＋（2√6）y－4y^2＝3／2,ε过D、E,
ζ：（3√2）x＋（4√3）xy－（2√6）y＋4y^2＝－3／2,ζ过E、F.
D是δ与ε的唯一交点,E是ε与ζ的唯一交点,F是ζ与δ的唯一交点.
用积分方法可求得δ与FD包围的面积、ε与DE包围的面积、ζ与EF包围的面积,它们均为：
S＝［（√3）／8］（3＝12•ln2－8－4•ln2）.
∴对于能构成三角形的三段竹竿,能组成钝角三角形的概率和能组成锐角三角形的概率分别为
P钝＝3S／△DEF的面积＝9－12•ln2≈0．682.
P锐＝1－P锐＝12•ln2－8≈0．318.
对于任意折成的三段竹竿,能组成钝角三角形的概率和能组成锐角三角形的概率分别为
P′钝＝P钝×1／4＝9／4－3•ln2≈0．171,
P′锐＝P锐×1／4＝3•ln2－2≈0．079.
∴组成钝角三角形的概率大.

锐角三角形

可先将的取值范围定义到(0,1)上，考虑到三角形三边成比例的相似性，所求的概率是不变的。
这是一个几何概型，以下建立空间直角坐标系Oxyz,用x,y,z分别表示三角形的三边，那么坐标系中的每一点(x,y,z)对应一个三角形，故取到每点的概率都是相同的全集Ω={(x,y,z}|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，在坐标系中表示一个边长为1的正方体及其内部，其体积为1
三边能构成三角...

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可先将的取值范围定义到(0,1)上，考虑到三角形三边成比例的相似性，所求的概率是不变的。
这是一个几何概型，以下建立空间直角坐标系Oxyz,用x,y,z分别表示三角形的三边，那么坐标系中的每一点(x,y,z)对应一个三角形，故取到每点的概率都是相同的全集Ω={(x,y,z}|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，在坐标系中表示一个边长为1的正方体及其内部，其体积为1
三边能构成三角形，需满足x+y>z,x+z>y,y+z>x，在坐标系中x+y=z,x+z=y,y+z=x分别表示三个平面，易知这三个条件所确定的空间部分在Ω内的部分为一个正方体截去三个三棱锥后剩余的几何体（你自己画画吧)(记为X），易求得其体积为1/2
对锐角三角形，需满足x²+y²＞z²，y²+z²>x²，x²+z²>y²，注意到x²+y²=z²，y²+z²=x²，x²+z²=y²在空间坐标系中分别表示两个圆锥，故x²+y²＞z²，y²+z²>x²，x²+z²>y²在Ω内表示的部分为3个(1/4)圆锥的外部，恰好也在X内（同上，图楼主自己画吧），易求得其在X内的体积为1-π/4
对直角三角形，其在坐标系中对应的部分为上面所求的三个(1/4)圆锥的表面，其所占体积为0
对钝角三角形，其在坐标系中对应部分在X内的体积为1/2-(1-π/4)=π/4-1/2
故所求概率
锐角三角形：2-π/2；
直角三角形：0；
钝角三角形：π/2-1
所以钝角三角形概率大
嘛
引用的别人的
http://zhidao.baidu.com/question/242950660.html?an=0&si=1
不过没问题的说

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解法一：
设竹竿全长为1。建立空间直角坐标系OXYZ。用此坐标系中的点的坐标表示竹竿分成的三段的长，则有
x＋y＋z＝1。 ①
其中，x＞0，y＞0， z＞0。
式①表示一平面。设该平面交X轴于A，交Y轴于B，交Z轴于C。连AB、BC、CA。可知：A、B、C的坐标分别为（...

全部展开

解法一：
设竹竿全长为1。建立空间直角坐标系OXYZ。用此坐标系中的点的坐标表示竹竿分成的三段的长，则有
x＋y＋z＝1。 ①
其中，x＞0，y＞0， z＞0。
式①表示一平面。设该平面交X轴于A，交Y轴于B，交Z轴于C。连AB、BC、CA。可知：A、B、C的坐标分别为（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）；OA＝OB＝OC＝1；AB＝BC＝CA＝√2；△ABC的面积＝（√3）／2。
除了边上的点之外，△ABC内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足x＞0，y＞0， z＞0和式①。
x、y、z能构成三角形，须满足
x＋y＞z，y＋z＞x，z＋x＞y。 ②
取如下三个平面：
x＋y＝z，y＋z＝x，z＋x＝y。 ③
设这三个平面与△ABC的交线分别为直线α、β、γ。可推知：α、β与CA的交点都是（1／2，0，1／2），β、γ与AB的交点都是（1／2，1／2，0），γ、α与BC的交点都是（0，1／2，1／2）。此三点分别以D、E、F表示。D、E、F恰是△ABC三边的中点。因此，△DEF的面积是△ABC的面积的1／4，即等于（√3）／8。
除了边上的点之外，△DEF内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足条件②。因此，将一根竹竿任意折成三段，能组成三角形的概率为1／4。
x、y、z能构成锐角三角形，还须满足
x^2＋y^2＞z^2，y^2＋z2＞x^2，z^2＋x^2＞y^2。 ④
取如下三个曲面：
x^2＋y^2＝z^2，y^2＋z2＝x^2，z^2＋x^2＝y^2。 ⑤
设这三个曲面与△DEF的交线分别为曲线δ、ε、ζ，这三条曲线在△DEF中连成的闭合区域的面积为S（推求S较繁，恕不进行）。
对于能构成三角形的三段竹竿，能组成锐角三角形的概率和能组成钝角三角形的概率分别为
P锐＝S／△DEF的面积，
P钝＝1－P锐。
对于任意折成的三段竹竿，能组成锐角三角形的概率和能组成钝角三角形的概率分别为
P′锐＝P锐×1／4，
P′钝＝P钝×1／4。
解法二：
设竹竿长为1，折成三段长分别为 x、y、1－x－y。再设x≤y≤1－x－y，则x≤y≤（1－x）／2，
0＜x≤1／3。
若x＝1／3，则1－x－y＝y＝1／3，组成等边三角形。在0＜x≤1／3中，x＝1／3的概率为无穷小。故可仅考虑0＜x＜1／3的情况。
由三角形的性质，得 x＋y＞1－x－y，y＞（1－2x）／2。
由y＞（1－2x）／2和y≤（1－x）／2，得（1－2x）／2＜y≤（1－x）／2。
当组成钝角三角形时，（1－x－y）^2＞x^2＋y^2,，y＜（1－2x）／［2（1－x）］。
∵（1－x）／2－（1－2x）／［2（1－x）］＝x^2／［2（1－x）］＞0，
∴由（1－2x）／2＜y≤（1－x）／2和y＜（1－2x）／［2（1－x）］，得
（1－2x）／2＜y＜（1－2x）／［2（1－x）］。
当组成锐角三角形时，（1－x－y）^2＜x^2＋y^2,，y＞（1－2x）／［2（1－x）］。
∵（1－2x）／［2（1－x）］－（1－2x）／2＝x（1－2x）／［2（1－x）］＞0，
∴由（1－2x）／2＜y≤（1－x）／2和y＞（1－2x）／［2（1－x）］，得
（1－2x）／［2（1－x）］＜y≤（1－x）／2。
对于0＜x＜1／3中每一个给定的x值，比较（1－2x）／2＜y＜（1－2x）／［2（1－x）］中y的值域｛（1－2x）／［2（1－x）］－（1－2x）／2｝和（1－2x）／［2（1－x）］＜y≤（1－x）／2中y的值域｛（1－x）／2－（1－2x）／［2（1－x）］｝的大小：
∵｛（1－2x）／［2（1－x）］－（1－2x）／2｝－｛（1－x）／2－（1－2x）／［2（1－x）］｝＝x（1－3x）／［2（1－x）］＞0，
∴前者的y值域比后者的大，故组成钝角三角形的概率比组成锐角三角形的概率大。

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钝角的可能性大