圆锥曲线的方程?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 19:34:53
圆锥曲线的方程?
圆锥曲线的方程?
圆锥曲线的方程?
圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线.其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0b>0,c>0,c^2=a^2-b^2.
2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1
其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2.
参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 ,设横坐标为acosθ,是由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0,圆的acosθ=r)
2）双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.
标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）
3）抛物线
参数方程
x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地,t可等于0
直角坐标
y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴,a0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴,a0 )
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)
其中e表示离心率,p为焦点到准线的距离.
焦点到最近的准线的距离等于ex±a
圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上,F1 F2为左右焦点,P（x,y）,长半轴长为a）
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离成为焦半径.
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y),则焦半径为：
椭圆
|PF1|=a+ex
|PF2|=a-ex
双曲线
P在左支,|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
P在右支,|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
P在下支,|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
P在上支,|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
抛物线
|PF|=x+p/2
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)
焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距,或焦参数.
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c
抛物线的准焦距:p
通径
圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦成为通径.
椭圆的通径:(2b^2)/a
双曲线的通径:(2b^2)/a
抛物线的通径:2p
圆锥曲线是二次的
所以是ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0