已知椭圆x^2/16+y^2/9=1,A、B是椭圆上两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于P（x0,0）点,求x0的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 06:36:34
已知椭圆x^2/16+y^2/9=1,A、B是椭圆上两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于P（x0,0）点,求x0的取值范围
已知椭圆x^2/16+y^2/9=1,A、B是椭圆上两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于P（x0,0）点,求x0的取值范围
已知椭圆x^2/16+y^2/9=1,A、B是椭圆上两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于P（x0,0）点,求x0的取值范围
设椭圆上的点A(4cosa,3sina),B(4cosb,3sinb)
AB中点为(2cosa+2cosb,3/2sina+3/2sinb)
AB斜率为
3/4*(sinb-sina)/(cosb-cosa)
因此AB的垂直平分线方程为
y-(3/2sina+3/2sinb)=-4/3*(cosb-cosa)/(sinb-sina)*[x-(2cosa+2cosb)]
令y=0得
(3/2sina+3/2sinb)=4/3*(cosb-cosa)/(sinb-sina)*[x-(2cosa+2cosb)]
(3/2sina+3/2sinb)(sinb-sina)+4/3*(cosb-cosa)(2cosa+2cosb)=4/3*(cosb-cosa)x
3/2(sin^2b-sin^2a)+8/3(cos^2b-cos^2a)=4/3*(cosb-cosa)x
9(sin^2b-sin^2a)+16(cos^2b-cos^2a)=8(cosb-cosa)x
7(cos^2b-cos^2a)=8(cosb-cosa)x
7(cosb-cosa)(cosb-cosa)=8(cosb-cosa)x
x=7/8(cosb-cosa)
因此
-7/4≤x≤7/4
设A(x1,y1)，B(x2,y2),设直线AB的中点为点D，
点D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2），
直线AB的斜率为，(y2-y1)/(x2-x1)
直线DP的斜率为，k=-(x2-x1)/ (y2-y1)
直线DP的方程为y-(y1+y2)/2=-[(x2-x1)/ (y2-y1)]*(x-(x1+x2)/2)
0-(y1+y2)/2...
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设A(x1,y1)，B(x2,y2),设直线AB的中点为点D，
点D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2），
直线AB的斜率为，(y2-y1)/(x2-x1)
直线DP的斜率为，k=-(x2-x1)/ (y2-y1)
直线DP的方程为y-(y1+y2)/2=-[(x2-x1)/ (y2-y1)]*(x-(x1+x2)/2)
0-(y1+y2)/2=-[(x2-x1)/ (y2-y1)]*(x0-(x1+x2)/2)
(y1+y2)/2=[(x2-x1)/ (y2-y1)]*(x0-(x1+x2)/2)
(y2^2-y1^2)/ [2(x2-x1)]= x0-(x1+x2)/2
X0=(y2^2-y1^2)/ [2(x2-x1)]+ (x1+x2)/2
=1/2[(y2^2-y1^2)+ (x2^2-x1^2)]/ (x2-x1)
X1^2/16+y1^2/9=1, X2^2/16+y2^2/9=1,两式相减
(y2^2-y1^2)/9+(x2^2-x1^2)/16=0
(y2^2-y1^2)=-9(x2^2-x1^2)/16
X0=1/2[(y2^2-y1^2)+ (x2^2-x1^2)]/ (x2-x1)
=1/2[7(x2^2-x1^2)/16] / (x2-x1)
=（7/16）*(x1+x2)/2
(x1+x2)/2是点D的横坐标，点D在椭圆内部，-4<(x1+x2)/2<4
-7/4
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