设点A（-1,0,3）,B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1)求与AB,CD向量都垂直的单位向量
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 16:26:45
设点A（-1,0,3）,B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1)求与AB,CD向量都垂直的单位向量
设点A（-1,0,3）,B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1)求与AB,CD向量都垂直的单位向量
设点A（-1,0,3）,B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1)求与AB,CD向量都垂直的单位向量
向量AB=(1,2,-1),
向量CD=(-1,1,2)
设向量n=（x,y,z）
则n·AB=x+2y+z=0
n·CD=-x+y+2z=0
令z=0,则x+2y=1
-x+y=-2 解得x=5/3,y=-1/3,z=1
此时向量n=（5/3,1/3,1）,这是与向量AB,CD都垂直的向量
然后就是“求与AB,CD向量都垂直的单位向量”这里的单位向量
我们把向量n单位化,即：用n÷n的模长
先算n的模长=√（x²+y²+z²）,把x=5/3,y=-1/3,z=1代入,得n的模长=（√35）/3
n÷n的模长=（5/3÷（√35）/3,1/3÷（√35）/3,1÷（√35）/3）
=(√35/7,√35/35,3√35/35)
AB=(1,2,-1) CD=(-1,1,2)
设n=（x,y,z）
∵n⊥AB且n⊥CD
∴ n·AB=x+2y-z=0
n·CD=-x+y+2z=0
当z＞0时，令z=1，则 x+2y=1
-x+y=-2
...
全部展开
AB=(1,2,-1) CD=(-1,1,2)
设n=（x,y,z）
∵n⊥AB且n⊥CD
∴ n·AB=x+2y-z=0
n·CD=-x+y+2z=0
当z＞0时，令z=1，则 x+2y=1
-x+y=-2
∴ x=5/3 , y=-1/3 , z=1
∴n=(5/3 ,-1/3,1)
∴n的模=√（x²+y²+z² = √(5/3)²+(-1/3)²+1² = √35/3
∴n/n的模=(√35/7,-√35/35,3√35/35)
当z＜0时，令z=-1，则 x+2y=-1
-x+y=2
∴ x=-5/3 , y=1/3 , z=-1
∴n=(-5/3 ,1/3,-1)
∴n的模=√（x²+y²+z² = √(-5/3)²+(1/3)²+(-1)² = √35/3
∴n/n的模=(-√35/7,√35/35,-3√35/35)
∴ 单位向量为(√35/7,-√35/35,3√35/35) 或(-√35/7,√35/35,-3√35/35)
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