长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=2,E为BC的中点（1）求点A到面A1DE的距离；（2）设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使得向量AM=λ向量AD,且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值；若不存在
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:14:12
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=2,E为BC的中点（1）求点A到面A1DE的距离；（2）设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使得向量AM=λ向量AD,且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值；若不存在
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=2,E为BC的中点
（1）求点A到面A1DE的距离；
（2）设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使得向量AM=λ向量AD,且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=2,E为BC的中点（1）求点A到面A1DE的距离；（2）设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使得向量AM=λ向量AD,且MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值；若不存在
（1）以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(2,0,√2）,
BC的中点E(1,1,0),
向量DA1=(2,0,√2）,DE=(1,1,0),
设平面A1DE的法向量n=(p,q,1),则
n*DA1=2p+√2=0,n*DE=p+q=0,
解得p=-√2/2,q=√2/2,
∴点A到面A1DE的距离=DA*n/|n|=2/√2=√2.
（2）△A1DE的重心为G（1,1/3,√2/3）,
向量AM=λ向量AD=λ（-2,0,0）=（-2λ,0,0）,
向量MG=AG-AM=(-1,1/3,√2/3）-（-2λ,0,0）=（2λ-1,1/3,√2/3）,
MG⊥平面A1ED,
<==>MG∥n,
<==>(2λ-1)/(-√2/2）=（1/3）/（√2/2）=（√2/3）/1,
∴2λ-1=-1/3,λ=1/3.
（1）DE=AE=√2，A1D=√6，A1E=√(AA1²+AE²)=2；∴A1E⊥DE； S△ADE=(AD*AB)/2=(2*1)/2=1，S△A1DE=(A1E*DE)/2=(2*√2)/2=√2； 设 A 到 A1DE 的距离是 H，则三棱锥 A1-ADE 的体积=(AA1*S△ADE)/3=(H*S△A1DE)/3； ∴ H=AA1*(S△ADE/S△A1DE)=√2*(1/√2)=1； （2）若能在 AD 上找到点 M，使得 MG⊥平面A1ED，则实数 λ=AM/AD 存在； 如图，因为△A1ED 是直角三角形，所以 EG=(2/3)*(A1D/2)=√6/3； 对△GED应用余弦定理：GD²=GE²+DE²-2GE*DE*cos∠GED=(√6/3)²+√2²-2*(√6/3)*(√2)*cos∠EDA1=(8/3)-(4√3/3)*(√2/√6)=4/3； △MGE 和 △MGD 都是直角三角形，MG²=ME²-EG²=MD²-GD²； [(AB)²+(MD-1)²]-EG²=MD²-GD²，代入数据：[1²+(MD-1)²]-(√6/3)²=MD²-(4/3)，∴ MD=4/3； λ=AM/AD=(AD-MD)/AD=1-[(4/3)/2]=1/3；