如图,已知四棱锥P－ABCD中 几何题如图,已知四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC为直角,AD‖BC,AB⊥AC,AB = AC = 2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在线段BC上,且CF= 2FB.（1）求证：FG‖平
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 19:15:54
如图,已知四棱锥P－ABCD中 几何题如图,已知四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC为直角,AD‖BC,AB⊥AC,AB = AC = 2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在线段BC上,且CF= 2FB.（1）求证：FG‖平
如图,已知四棱锥P－ABCD中 几何题
如图,已知四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC为直角,AD‖BC,AB⊥AC,AB = AC = 2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在线段BC上,且CF= 2FB.
（1）求证：FG‖平面PAB；
（2）求证：FG⊥AC；
（3）当二面角P－CD－A的正切值多大时,FG⊥平面AEC?
如图,已知四棱锥P－ABCD中 几何题如图,已知四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC为直角,AD‖BC,AB⊥AC,AB = AC = 2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在线段BC上,且CF= 2FB.（1）求证：FG‖平
（1）连结CG并延长交PA于点M,连结BM.
∵G为△PAC的重心,∴CG∶GM = 2∶1.
又CF∶FB = 2∶1,∴FG‖BM．
∴FG‖平面PAB.
（2）∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,又AB⊥AC,
∴AC⊥平面PAB,∴AC⊥BM.
由（1）已证FG‖BM,∴FG⊥AC.
（3）连结EM,由（2）知FG⊥AC,
∴FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE,即BM⊥AE.
∵E、M分别为PB、PA的中点,
∴EM=1/2BA= 1,EM⊥PA．设EA∩BM =H,则EH =1/2HA.
设PA=h, 则EA=1/2PB=1/2√(4+h^2)
EH =1/6√(4+h^2)
∵Rt△AME ∽Rt△MHE,∴EM^2= EH•EA,
∴1 =√(4+h^2)• 1/6√(4+h^2),
解得h=2√2
在直角梯形ABCD中,由已知可求得AD=√2
∵PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴PD⊥CD.
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角,并且二面角的正切值为2.
∴当二面角P－CD－A的正切值为2时,FG⊥平面AEC.