如图:角B=角C=90度,E是BC的中点,DE平分角ADC,求证:AE是角DAB的平分线
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 09:20:50
如图:角B=角C=90度,E是BC的中点,DE平分角ADC,求证:AE是角DAB的平分线
如图:角B=角C=90度,E是BC的中点,DE平分角ADC,求证:AE是角DAB的平分线
如图:角B=角C=90度,E是BC的中点,DE平分角ADC,求证:AE是角DAB的平分线
【证法1】：首先延长DE交AB的延长线于点F,由∠B=∠C=90°,E是BC的中点,易证得△DCE≌△FBE,又由DE平分∠ADC,易得AD=AF,DE=EF,由三线合一的知识,即可证得AE平分∠DAB．
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延长DE交AB的延长线于点F,
∵∠B=∠C=90°,E是BC的中点,
∴∠C=∠EBF=90°,CE=BE,
在△CDE和△BFE中,
∠C=∠FBE
CE=BE
∠DEC=∠FEB（对顶角相等）
∴△DCE≌△FBE(ASA),
∴DE=EF,∠F=∠CDE,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠ADE=∠F,
∴AD=AF,
又∵E是DF中点,
∴AE平分∠DAB．
【证法2】：过点E作EF⊥AD于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,然后求出BE=EF,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
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证明：如图,过点E作EF⊥AD于F,
∵∠C=90°,DE平分∠ADC,
∴CE=EF,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴BE=EF,
又∵∠B=90°,
∴点E在∠BAD的平分线上,
即AE平分∠DAB
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【证法3】（图同上）在AD上截取DF=DC,连接EF,根据SAS证△EDC≌△EDF,推出∠C=∠DFE=90°=∠AFE,CE=FE=BE,求出∠B=∠AFE=90°,根据HL证Rt△ABM≌Rt△ANM,推出AB=AN,∠BAM=∠NAM即可；
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证明：ABCD是直角梯形，则有
DE是角平分线，所以EC=EF,所以AB=AF
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证明：ABCD是直角梯形，则有
DE是角平分线，所以EC=EF,所以AB=AF
AE=AE,所以三角形ABE全等于三角形AFE
所以EF=EB,所以AE是角平分线
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