在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 10:29:14
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?在平面直角坐

在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点N
P作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?

在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函数f(x)=e^x(x>0)图像上的动点,该图像在点P处的切线L交y轴于点NP作L的垂线交y轴于点M,设线段MN的中点纵坐标为t,则t的最大值为多少?
解析,设p点得坐标为(a,b),那么,b=e^a
过p点的直线L的斜率为e^a,过p点垂直于L的直线的斜率为-1/(e^a)
因此,直线L方程为y-b=(x-a)*e^a.
当x=0时,y=b-a*e^a=(1-a)*e^a,故,要分两种情况,01.
①当01时,此时,N点得纵坐标为负值.故,|OM|=e^a+a/(e^a),|ON|=(a-1)*e^a,
那么,t=(|OM|-|0N|)/2=2e^a+a/(e^a)-a*e^a,
t'=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}

 设切点坐标为(m,em)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m(x-m)
令x=0,解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [(2-m)em+me-m]
令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,...

全部展开

 设切点坐标为(m,em)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m(x-m)
令x=0,解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [(2-m)em+me-m]
令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0
∴当m=1时t取最大值
1/2 (e+e-1)
故答案为:
1/2(e+e-1)

收起

在平面直角坐标系xoy中,已知点P(3,4),点Q在x轴上,△PQO是等腰三角形,求点Q的坐标 平面直角坐标系xoy中,已知p(2,2),点Q在y轴上,三角形POQ是等腰三角形,则满足条件的Q点有几个? 如图在平面直角坐标系XOY中一次函数 在平面直角坐标系xOy中,已知反比例函数 满足:当x 在平面直角坐标系xoy中,已知点P(-2,1),点Q是坐标系上的一个动点当三角形POQ是等腰三角形,求Q点的坐标 在平面直角坐标系中xoy中,已知p(-2,1)关于y轴对称点为p',点T(t,0)是x轴上的一个动点,当p'to等腰三角形t的值 平面直角坐标系xOy,已知点P(2,3),点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有几个? 在平面直角坐标系xoy中,已知反比例函数y=-3m/x和一次函数y=kx-1的图像都经过点p(1,3),且一次函数的图像在平面直角坐标系xoy中,已知反比例函数y=-3m/x和一次函数y=kx-1的图像都经过点p(1,3),且 如图,在平面直角坐标系xOy中,P是反比例函数图象上一点,过点P作PA⊥x轴于点A,S△AOP=4,求k的值 在平面直角坐标系XOY中,已知点P(3,4),点Q在X轴上,三角形POQ是等腰三角形,在图中标出满足的点Q的位置,并写出坐标 平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(X)=e^x(x>0)的图像上的动点,该图像在P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是 在平面直角坐标系xOy中已知A【2,3】在坐标轴上找一点P使得三角形AOP是等腰三角形则这样的点p共有几个,要具体的点的坐标 在平面直角坐标系xoy中 已知点a(2,3),在坐标轴上找一点p,使得△aop是等腰三角形则这样的点p共有_______个 在平面直角坐标系xoy中 已知点 a(2,3),在坐标轴上找一点p,使得△aop是等 腰三角形,请写出点P的坐标 速求 在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有具体点的坐标 在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,-4),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点,且过点P(2,4),则该抛物线的方程为? 在平面直角坐标系xoy中,已知点A的坐标是(0,4),点B的坐 标是 ( ,2),点P是x轴上的一个动点,连结AP,在平面直角坐标系xoy中,已知点A的坐标是(0,4),点B的坐标是 ( ,2),点P是x轴上的一个动点,连结AP