一道有关高中数学函数的性质的选择题若定义在【-2010,2010】上的函数f(x)满足：对于任意X1,X2∈【-2010,2010】有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-2009,且当X＞0时,有f(x)＞2009,f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N

一道有关高中数学函数的性质的选择题若定义在【-2010,2010】上的函数f(x)满足：对于任意X1,X2∈【-2010,2010】有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-2009,且当X＞0时,有f(x)＞2009,f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N
一道有关高中数学函数的性质的选择题
若定义在【-2010,2010】上的函数f(x)满足：对于任意X1,X2∈【-2010,2010】有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-2009,且当X＞0时,有f(x)＞2009,f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N的值为 （ ）
A2009 B2010 C4018 D4020

一道有关高中数学函数的性质的选择题若定义在【-2010,2010】上的函数f(x)满足：对于任意X1,X2∈【-2010,2010】有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-2009,且当X＞0时,有f(x)＞2009,f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N
1>令x1=0,x2=0,得到f(0)=2009
2>令x1=-x2=x,f（0）=f（x）+f（-x）-2009,f（x）-2009+f（-x）-2009=0
则令F（x）=f（x）-2009,F（x）+F（-x）=0,单调.
3>最大值、最小值就是【-2010,2010】两端,由f（x）-2009+f（-x）-2009=0
得M+N=4018

选C；令F（X）=f（x）-2009；所以有F（X1+X2）+2009=F（X1）+F（X2）+2009；令X1=X2=0；得F（0）=0；当X>0时F（X）>0；令X1=X、X2=-X；得F（X）+F（-X）=0；所以F（X）为奇函数，函数图象关于原点对称，假设F（Y）为最大值，则最小值必定为F（-Y）；两者之和为0；f（X）同理推出答案为C...

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选C；令F（X）=f（x）-2009；所以有F（X1+X2）+2009=F（X1）+F（X2）+2009；令X1=X2=0；得F（0）=0；当X>0时F（X）>0；令X1=X、X2=-X；得F（X）+F（-X）=0；所以F（X）为奇函数，函数图象关于原点对称，假设F（Y）为最大值，则最小值必定为F（-Y）；两者之和为0；f（X）同理推出答案为C

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选择C
令2010≥x1＞x2≥-2010，则x1-x2＞0
依题定义知，f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-2009即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-2009＞2009-2009=0
所以f(x)在定义域[-2010,2010]上为增函数
所以f(x)max=M=f(2010),f(x)min=N=f(-2010)
又令x1=x2=0得f(...

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选择C
令2010≥x1＞x2≥-2010，则x1-x2＞0
依题定义知，f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-2009即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-2009＞2009-2009=0
所以f(x)在定义域[-2010,2010]上为增函数
所以f(x)max=M=f(2010),f(x)min=N=f(-2010)
又令x1=x2=0得f(0)=f(0)+f(0)-2009即f(0)=2009
当x1=2010,x2=-2010时有f(0)=f(2010)+f(-2010)-2009=M+N-2009=2009
即得M+N=2009+2009=4018
v

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选C。 令x2大于0，f（x1+x2）-f（x1）=f（x2）-2009＞0发现f（x）是单调增函数，最值在端点处取得。剩下的就容易了。

f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-2009
f(0)=2009
令x1＞x2＞0，x1-x2＞0
f(X1-X2)＞2009
f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-2009＞0
即fx在x大于0时，单调递增
f（0）=f（x）+f（-x）-2009
即f（x）+f（-x）=2009+2009=4018
令0＞x2＞x1

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f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)-2009
f(0)=2009
令x1＞x2＞0，x1-x2＞0
f(X1-X2)＞2009
f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-2009＞0
即fx在x大于0时，单调递增
f（0）=f（x）+f（-x）-2009
即f（x）+f（-x）=2009+2009=4018
令0＞x2＞x1
则-x1＞-x2＞0
f(-X1)-f(-X2)=4018-f(X1)-4018+f(X2)＞0
即f(X2)＞f(X1)
即函数在x小于0时候也单调递增
即函数在整个定义域内单调递增
M=F2010
N=F-2010
M+N=4018

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由已知条件得到 f(0)=f(x)+f(-x)-2009 也可知f(0)=2009 由2式得出 f(x)关于点（0,2009中心对称）
由此可知 最大值和最小值对应的x1 +x2=0 得出结论为C

选C