已知直线L过点P(-1,0)且与抛物线y^2=2x交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程

已知直线L过点P(-1,0)且与抛物线y^2=2x交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程
已知直线L过点P(-1,0)且与抛物线y^2=2x交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程

已知直线L过点P(-1,0)且与抛物线y^2=2x交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程
设直线L的方程为Y=kx+b (k,b不等于0）
A(X,Y1) B(X2,Y2),AB中点(X,Y)
因为L经过（-1,0）
所以k=b
L的方程：Y=bx+b
y^2=2x
由得
b^2x^2+(2b^2-2)x+b^2=0得
x1+x2=(2-2b^2)/b^2
by^2-2y+2b=0
y1+y2=2/b
x=(x1+x2)/2=(2-2b^2)/2b^2=(1-b^2)/b^2
y=2/2b=1/b
由得
y^2=x+1

设直线是y=k(x+1),代入抛物线
k^2x^2+(2k^2-2)x+k^2=0
x1+x2=(2-2k^2)/k^2
y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2=(2+2k-k^2)/k
M的横坐标是x=(x1+x2)/2,纵坐标是y=(y1+y2)/2
x=(x1+x2)/2=(1-k^2)/k^2
k^2=1/(x+1)...

全部展开

设直线是y=k(x+1),代入抛物线
k^2x^2+(2k^2-2)x+k^2=0
x1+x2=(2-2k^2)/k^2
y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2=(2+2k-k^2)/k
M的横坐标是x=(x1+x2)/2,纵坐标是y=(y1+y2)/2
x=(x1+x2)/2=(1-k^2)/k^2
k^2=1/(x+1)
y=(y1+y2)/2=(2+2k-k^2)/(2k)=1/k+1-k/2
所以y-1=1/k-k/2
(y-1)^2=1/k^2-1+k^2/4
(y-1)^2=x+1/[4(x+1)^2]

收起

设M的坐标为（X0，Y0）
过P点的直线方程是：A（X+1）+Y=0，联立抛物线解得：
X2+AX+A=0
X1+X2=-A
Y1+Y2=-A（X1+X2+2）
所以，Y0=（Y1+Y2）/2=-A（X0+1）
因此，M的轨迹方程为：Y+AX+A=0