证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.其中A是一个相应的矩阵,A*是A的转置(上标打不出T),b是一个相应的向量.求英文详细证明.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:38:06
证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.其中A是一个相应的矩阵,A*是A的转置(上标打不出T),b是一个相应的向量.求英文详细证明.证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.其中A是一个相应

证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.其中A是一个相应的矩阵,A*是A的转置(上标打不出T),b是一个相应的向量.求英文详细证明.
证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.
其中A是一个相应的矩阵,A*是A的转置(上标打不出T),b是一个相应的向量.求英文详细证明.

证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.其中A是一个相应的矩阵,A*是A的转置(上标打不出T),b是一个相应的向量.求英文详细证明.
Let T(A) be the transpose of the matrix A.
In order to prove that T(A) Ax = T(A) b has a non-trivial solution,we need to show that T(A) A is invertible.
[ | | | | ]
Assume A has the form:A = [ a_1 a_2 a_3 ...a_n ],a_1,a_2,a_3 ...a_n are the
[ | | | | ]
column vectors of A.
[ - a_1 - ]
Then T(A) = [ - a_2 - ]
[ .]
[ - a_n -]
thus by definition:
[ - a_1 - ]
T(A)A = [ - a_2 - ] [ | | | | ]
[ .] [ a_1 a_2 a_3 ...a_n ]
[ - a_n -] [ | | | | ]
[ a_1 * a_1 a_1 * a_2 ...a_1 * a_n ]
= [ a_2 * a_1 a_2 * a_2 ...a_2 * a_n ]
[ .]
[ a_n * a_1 a_n * a_2 ...a_n * a_n ]
If the column vectors of A are linearly independent,then there does not exist real numbers h and f such that:
a_i = h * a_j + f * a_k,for any i not equal to j and i not equal to k.
Hence,we can further investigate the entries in T(A)A:since a_i and a_j are always linearly independent,then it follows that each column of T(A)A must also be linearly independent,otherwise the column vectors of A would be linearly dependent.
This indicates that T(A)A is invertible,thus we have one unique solution.
In the other case,if the column vectors of A is linearly dependent,then by the same reason,column vectors of T(A)A is also linearly dependent,then we have a infinite many solutions.
Thus,in general the system T(A)Ax = T(A)b always have solutions.

证明关于向量x的方程A*Ax=A*b一定有解.其中A是一个相应的矩阵,A*是A的转置(上标打不出T),b是一个相应的向量.求英文详细证明. 已知a向量的绝对值=2b向量的绝对值,且关于x的方程x^2+ax-ab=0 已知a向量的模等于二倍b向量的模切都不等于零,关于x的方程x^2+ax+ab=0(a.b均表示向量)有实数根求a.b夹角的范围 解关于x的方程 ax-b=bx+a 一道平面向量题设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况(a、b、c、0都是向量)至多有一个实数解 已知a不等于0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根. 用反证法证明:若a不等于0,关于x的方程ax-b=o只有一个实数根. 解关于向量x的方程:3(向量a+向量x)=向量x1/2(向量a-2向量x)=3(向量x-向量a)向量x+2(向量a+向量x)=03向量a+4(向量b-向量x)=0 设a与b是平面内的两个不共线向量则关于实数x的方程ax^2+bx+c=0的解 设向量a与b不共线,则关于实数x的方程ax²+bx+c=0的解() 关于x的方程ax-b=bx-a (a≠b)的解是? 关于X的方程AX-B=BX-A(A不等于B), 关于平面向量的问题1下列各等式或不等式中,一定不能成立的个数是1.|向量a|-|向量b|<|向量a+向量b|<|向量a|+|向量b|2.|向量a|-|向量b|=|向量a+向量b|=|向量a|+|向量b|3.|向量a|-|向量b|=|向量a+向量b| 已知a不等于0 ,证明x的方程ax=b有且只有一个根 a,b是非零向量,函数f(x)=(→ax+→b)^2为偶函数是向量a垂直向量b的...怎a,b是非零向量,函数f(x)=(→ax+→b)^2为偶函数是向量a垂直向量b的...怎么证明是充要条件 证明:关于x的方程ax平方+bx+x=o有根为1的充要条件是a+b+c=o. 已知关于x的一元一次方程ax+b=0,若a-b=0,则此方程的解一定是?怎么算出来的? 比方说法向量方程a(x-x0)=b(y-y0)的方向向量为(-b,a),则法向量为(a,b)但是为什么一般式中ax+by+c=0中法向量若为(a,b)但其方向向量却为(b,-a)不同于法向量方程的方向向量(-b,a)这是为什么啊?