若a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1,求证:abc=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 22:34:02
若a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1,求证:abc=0
若a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1,求证:abc=0
若a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1,求证:abc=0
(a＋b＋c)^2＝a^2＋b^2＋c^2＋2(ab＋bc＋ca)＝1
∴ab＋bc＋ca＝0
又a^3＋b^3＋c^3＝(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)＋3abc
∴1＝1×(1－0)＋3abc
∴abc＝0
因为：a+b+c=1
所以：(a+b+c)^2=1
所以：a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
因为：a^2+b^2+c^2=1
所以：2ab+2ac+2bc=0
所以：ab+ac+bc=0
因为：(a+b+c)^3=1
所以：a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3a^2c+3ac^2+6ab...
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因为：a+b+c=1
所以：(a+b+c)^2=1
所以：a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
因为：a^2+b^2+c^2=1
所以：2ab+2ac+2bc=0
所以：ab+ac+bc=0
因为：(a+b+c)^3=1
所以：a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3a^2c+3ac^2+6abc=1
因为：a^3+b^3+c^3=1
所以：3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3a^2c+3ac^2+6abc=0
所以：a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+2abc=0
所以：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc=0
所以：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+3abc-abc=0
所以：ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+b+c)-abc=0
因为：a+b+c=1,ab+ac+bc=0
所以：abc=0
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