已知数列an的前n项和为Sn,an与Sn满足Sn=1+ran,若lim(n→∞)Sn=1,求r的取值范围 已知数列an的前n项和为Sn,an与Sn满足Sn=1+ran,若lim(n→∞)Sn=1,求r的取值范围一楼脑残是吧 发什么广告啊，神经病 还占那
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 06:39:53
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一楼脑残是吧 发什么广告啊，神经病 还占那么大篇幅，还不留名
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S(n) = 1 + r*a(n)
又 a(n) = S(n) - S(n-1)
故 S(n) = 1 + r*[S(n) - S(n-1)] ------（*）
==> (1-r)*S(n) = 1 - r*S(n-1) -------- 两边同时减去1-r
==>(1-r)*(S(n) - 1) = -r*(S(n-1) - 1) ------ 当r不为1时
==>S(n) - 1 = -r/(1-r) * (S(n-1) - 1)
==> {S(n)-1} 是首项为S(1)-1,公比为-r/(1-r)的等比数列,于是
S(n) - 1 = (S(1)-1)*(-r/(1-r))^(n-1)
又lim(n→∞)Sn=1 即lim(n→∞)(Sn-1)=0
故lim(n→∞)(S(1)-1)*(-r/(1-r))^(n-1)=0 ==> lim(n→∞)(-r/(1-r))^(n-1)= 0
==> |r/(1-r)| < 1 (若大于1,则趋近于+∞)
解绝对值不等式,两边平方得
r^2 < (1-r)^2 ==> r < 1/2
若r=1时,从（*）式开始,可知S(n-1)=1,显然也满足条件,因此r的范围是 (-∞,1/2) ∪{1}