要有图啊

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例1 已知：如图1-1所示,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证：∠A + ∠C = 180° 分析：因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造等腰三角形,可通过“截长补短法”来实现.证明：在BC上截取BE=AB,连接DE,再取EC的中点M,连接DM ∵ AB = BE 又∵ BD平分∠ABC A D ∴ ∠ABD = ∠EBD 在△ABD与△EBD中,AB = BE ∠ABD = ∠EBD BD = BD B E M C ∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1 ∴ AD = ED ∠A = ∠BED ,∵AD = DC ,∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC ∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180° 例2 已知：如图2-2,AE//BC,AD、BD分别平分EAB、CBA,EC过点D.求证：AB=AE+BC 分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线,因而可将DAED沿A翻折,从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC,只需要推证出AF=AE,则可以使问题得以解决,那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键.由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°,且EDC=180°,又由于AE//BE,因此E+C=180°从而EAB+CBA=180°,由AD、BD是角平分线,可推出1+4=90°,从而可推证出ADB=90°,因而6+8=90°.若能推证出7=8,那么只需要推证出DAED≌DAFD,从而可推证出AE=AF、由于BC=BF,1=2,BD是公共边,因此可推证出DBFD≌DBCD,则5=6,由于5+7=90°因此,6+7=90°,又由于6+8=90°,从而可推出7=8,由此可由AD是公共边,3=4推证出DAED≌DAFD,从而思路畅通,推证出AE=AF,由等量代换可推证出AB=AE+BC.证明一：在AB上截取BF=BC,连结DF.∴ BD是ABC的平分线,∴1=2 在DBDF和DBDC中 （公共边） ∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2 ∴5=6（全等三角形对应角相等） ∴3+8+E=4+1+5+7=2+6+C=180°（三角形内角和定理） ∴E+EAB+ABC+C+EDC=540° 又∴AE//BC∴E+C=180°（两直线平行同旁互补） 又∵EDC=180°∴1+2+3+ 4=180° ∴AD是EAB的平分线 ∴3=4 ∴1+4=90° ∴5+7=90°（三角形内角和定理） ∴6+8=90° ∵5=6 ∴ 7=8 在DAED和DAFD中 ∴DAED≌DAFD (ASA) ∴AE=AF（全等三角形对应边相等） ∵ AF+FB=AB ∴AE=FB=AE+BC=AB 即AB=AE+BC 分析二：延长BC交AD的延长线于F.要证AB=AE+BC,只需要证明BF=AB,只需要推证出CF=AE.而要证CF=AE,只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于5=6,AE//BC,因此可推出3=F,若要推证出AD=FD,成为解决问题的关键,由于四边形AECB的内角和等于360°,E+BCE=180°,因此可知EAB+CBA=180°,又由于AD、BD是EAB、CBA的平分线,从而可推出1+4=90°,因此ADB=90°,则EDB=90°,推到此,他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD,从而推证出AD=FD,思路形成.证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F 在DAED、DADB、DBDC中 三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理） 又∵EDC=180°（平角定义） ∴E+C+EAB+ABC=180° AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补） ∴3+4+1+2=180° 又∴AD、BD分别是EAB、ABC的平分线 ∴3=4,1=2（角平分线定义） ∴1+4=90° ∴ADB=90°（三角形内角和定理） ∴BDF=90° 在DADB和DBDF中 ∴DADB≌DBDF(ASA) ∴AD=FD,AB=FB,4=F（全等三角形对边,对应角相等） 如图2-3 在DAED和DFCD中 ∴DAED≌DFCD ∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC 例3 已知：如图3-1所示,AD为△ABC的角平分线,AB＞AC,求证：AB—AC＞BD—DC 分析：欲证AB—AC＞BD—DC,需把AB与AC的差,BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边,再利用三角形三边的关系加以证明.证明：方法一：截长法 在AB上截取AE = AC,连接ED.A ∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△ADE与△ADC中,E AE = AC ∠EAD= ∠DAC B D C AD = AD 如图3-1 ∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C 在△ABD中,BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边） 即AB—AE＞BD—DC ∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换） 方法二：补短法 延长AC到点E,使AE = AB,连接DE A ∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC 在△BAD与△EAD中,AB = AE C ∠BAD = ∠DAC B D E AD = AD ∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2 在△ABD中,EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边） 即AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC 例4 已知：如图4-1,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法） 延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE＝∠CED,如图4-2 图4-2 ∴∠ACB＝2∠E,∵∠ACB＝2∠B,∴∠B＝∠E,在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS） ,∴AB=AE.图4-3 又AE=AC+CE=AC+DC,∴AB=AC+DC.方法二（截长法） 在AB上截取AF=AC,如图4-3 在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC,∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B,∴∠FDB＝∠B,∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD,∴AB=AC+CD.