以正方形的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-XYZ,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上（1）当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值 （2）当点Q为棱C
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 02:02:37
以正方形的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-XYZ,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上（1）当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值 （2）当点Q为棱C
以正方形的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-XYZ,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上
（1）当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值
（2）当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值
（3）当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值
以正方形的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-XYZ,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上（1）当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值 （2）当点Q为棱C
应该是对角线AB1吧,找最小值时过定点做动点所在直线的垂线,就是最小距离
1.√5/2
2.3√2/4
设正方体边长为a，P(x1,x1,z1)，Q(x2,a,a)
如图，则ΔGP'P和ΔGEA相似，
∴GP‘/EG=P'P/AE，即z1=P'P=√2(a-x1)*a/(√2 a)=a-x1
∴P(x1,x1,a-x1), 向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1) （0≤x1,x2≤a）
(1)，由题意得：PQ⊥AG，
此时，x1=a/2，向...
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设正方体边长为a，P(x1,x1,z1)，Q(x2,a,a)
如图，则ΔGP'P和ΔGEA相似，
∴GP‘/EG=P'P/AE，即z1=P'P=√2(a-x1)*a/(√2 a)=a-x1
∴P(x1,x1,a-x1), 向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1) （0≤x1,x2≤a）
(1)，由题意得：PQ⊥AG，
此时，x1=a/2，向量PQ=(x2-a/2,a/2,a/2),向量AG=(a,a,-a)
∴向量PQ·向量AG=a(x2-a/2)=0
∴x2=a/2，向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(2)，同理，PQ⊥CD，
此时x2=a/2，向量PQ=(a/2-x1,a-x1,x1)，向量DC=(a,0,0)
∴向量PQ·向量DC=a(a/2-x1)=0
∴x1=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(3)，由题意，PQ为CD和AG的公垂线
由(1)、(2)得：当x1=x2=a/2时，能够成线段PQ
且PQ为CD和AG的公垂线
∴|PQ|=√2 a/2，为最小值
验证：向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1)，向量AG=(a,a,-a)，向量DC=(a,0,0)
PQ为CD和AG的公垂线
∴a(x2-x1)+a(a-x1)-ax1=0
a(x2-x1)=0
联立得：x1=x2=a/2
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