已知a,b为正整数,关于x的方程x^2-2ax+b=0的两个实数根为x1,x2,关于y的方程y^2+2ay+b=0两个实数根为y1,y2,且满足x1y1-x2y2=2008.求b的最小值.但要看的懂）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 12:31:34
已知a,b为正整数,关于x的方程x^2-2ax+b=0的两个实数根为x1,x2,关于y的方程y^2+2ay+b=0两个实数根为y1,y2,且满足x1y1-x2y2=2008.求b的最小值.但要看的懂）
已知a,b为正整数,关于x的方程x^2-2ax+b=0的两个实数根为x1,x2,关于y的方程y^2+2ay+b=0两个实数根为y1,y2,且满足x1y1-x2y2=2008.求b的最小值.但要看的懂）
已知a,b为正整数,关于x的方程x^2-2ax+b=0的两个实数根为x1,x2,关于y的方程y^2+2ay+b=0两个实数根为y1,y2,且满足x1y1-x2y2=2008.求b的最小值.但要看的懂）
由x^2-2ax+b=0 ,y^2+2ay+b=0得b=-(x^2-2ax)=-(y^2+2ay),所以x^2-2ax=y^2+2ay
移项得（x+y)(x-y-2a)=0所以x=-y或x-y=2a而x-y=2a带入x1y1-x2y2=2008后有0=2008矛盾
因而x=-y有韦达定理x1+x2=2a,x1x2=b ,带入得x2^2-x1^2=2008
2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
(x2-x1)^2=4a^2-2b（由x1+x2=2a,x1x2=b ）
......
本人觉得zly19930509的解题思路正确,但是在计算两根差的时候出现失误,(x2-x1)^2=4(a^2-b)
按照思路继续计算,得a^2(a^2-b)=2*2*251*251
当a取502时,a^2-b=1 则b=252003
当a取251时,a^2-b=4 则b=62997
取较小值62997
由x^2-2ax+b=0 ，y^2+2ay+b=0得b=-(x^2-2ax)=-(y^2+2ay),所以x^2-2ax=y^2+2ay
移项得（x+y)(x-y-2a)=0所以x=-y或x-y=2a而x-y=2a带入x1y1-x2y2=2008后有0=2008矛盾
因而x=-y有韦达定理x1+x2=2a， x1x2=b ，带入得x2^2-x1^2=2008
2008=(x...
全部展开
由x^2-2ax+b=0 ，y^2+2ay+b=0得b=-(x^2-2ax)=-(y^2+2ay),所以x^2-2ax=y^2+2ay
移项得（x+y)(x-y-2a)=0所以x=-y或x-y=2a而x-y=2a带入x1y1-x2y2=2008后有0=2008矛盾
因而x=-y有韦达定理x1+x2=2a， x1x2=b ，带入得x2^2-x1^2=2008
2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
(x2-x1)^2=4a^2-2b（由x1+x2=2a， x1x2=b ）
4a^2(4a^2-2b)=2008^2
a^2(2a^2-b)= 2008^2/8=504008= 2^3*251^2
又a,b为正整数a^2(2a^2-b)=504008=2^3*251^2
所以a=2*251或者251或者2或者1
很显然当a=2或者1的时候,b<0舍去
所以a=502或者251
对应的2a^2-b=2或者8
对应的b=504006或者125994
那么最小的b就是125994
收起
由题意的：两个原方程的根的关系：x1y1--x2y2=2008可化为x1^2--x2^2=2008。
x1^2--x2^2=√（x1-x2）2=√（x1+x2）-4x1x2=√4a2--4b=2√a2--b=2008
√a2-b=1004；a2-b=1004^2；a2=1004^2+b，因为b为正整数，所以b最小为1