如图AB圆O的直径,AC平分角DAB交圆O于点C,直线CD垂直AD,求证:直线CD是圆O的切线,若AD交圆O于点E,连结CECD+DE=6,且圆O的直径为10,求AE的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 14:11:38
如图AB圆O的直径,AC平分角DAB交圆O于点C,直线CD垂直AD,求证:直线CD是圆O的切线,若AD交圆O于点E,连结CECD+DE=6,且圆O的直径为10,求AE的长.
如图AB圆O的直径,AC平分角DAB交圆O于点C,直线CD垂直AD,求证:直线CD是圆O的切线,若AD交圆O于点E,连结CE
CD+DE=6,且圆O的直径为10,求AE的长.
如图AB圆O的直径,AC平分角DAB交圆O于点C,直线CD垂直AD,求证:直线CD是圆O的切线,若AD交圆O于点E,连结CECD+DE=6,且圆O的直径为10,求AE的长.
证明：1.
连接OC
∵OA,OC是圆O的半径
∴∠CAO=∠ACO ①
又已知 AC平分角DAB交圆O于点C
则 ∠CAD=∠CAO②
由①②得 ∠CAD=∠ACO
则 OC//AD ③
∵直线CD垂直AD④
∴由③④得 直线CD垂直CO
又CO是圆O的半径
∴直线CD是圆O的切线
2.
连接BE交OC于F点
∵AB是圆O的直径
∴∠AEB=90度,则直线EF垂直AD ①
又直线CD垂直AD ②
由①②得CDEF是矩形
从而CF=DE
∵OA=OB,OF//AE
从而OF是三角形ABE的中位线
∴OF=1/2*AD
设 DE=X
则 FC=DE=X,CD=6-X
又OC=1/2*AB=1/2*10=5
从而 OF=OC-FC=5-X
∴AD=2*OF=2*(5-X)
从而 AE=AD+DE=2*(5-X)+X=10-X
∵直线CD是圆O的切线
∴CD^2=DE*AE
则(6-X)^2=X*(10-X)
化简,得 X^2-11*X+18=0
因式分解,得 (X-2)(X-9)=0
从而 X=2 或 X=9(不合题意,舍去)
∴AE=10-X=10-2=8
则 AE的长是8.
易证角dac=cao=aco所以角dca+aco=90第一问得正
连接be，交oc于h则edch为矩形ae=2oh
显然cd方=de*da设de=x则dc=6-x ae=2oh=2（5-x）
带入可求得x=2或9显然9该剔除