2007年 和 2008年 初三数学竞赛试题(天津赛区!)

2007年 和 2008年 初三数学竞赛试题(天津赛区!)
2007年 和 2008年 初三数学竞赛试题(天津赛区!)

2007年 和 2008年 初三数学竞赛试题(天津赛区!)
2008年全国初中数学竞赛试题（天津赛区）参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分,每小题7分）
本题共有6小题,每题均给出了代号为 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内）,一律得0分.
1．设 , ,且 ,则代数式 的值为 （ ）
5. 7. 9. 11.
【答】 .
解 由题设条件可知 , ,且 ,所以 是一元二次方程 的两根,故 , ,因此 . 故选 .
2．如图,设 , , 为三角形 的三条高,若 , , ,则线段 的长为 （ ）
. 4. . .
【答】 .
解 根据勾股定理,有 AB ＝AE +BE ①,BC ＝BE ＋EC ②,用①－②,得到AB －BC ＝AE －EC ＝(AE－EC)•(AE＋CE),所以AE＋CE＝(6 －5 )÷ ＝5,从而解得AE＝ ,CE＝ ,这样BE= . 故选 .
3．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）
. . . .
【答】 .
解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.
所以所组成的数是3的倍数的概率是 . 故选 .
4．在△ 中, , , 和 分别是这两个角的外角平分线,且点 分别在直线 和直线 上,则 （ ）
. .
. 和 的大小关系不确定.
【答】 .
解 ∵ , 为 的外角平分线,∴ .
又 ,∴ ,
∴ .
又 ,
∴
,
∴ . 因此, .故选 .
5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为 ,则 的最小值为 （ ）
. . . .
【答】 .
解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.
设5种商品降价前的价格为 ,过了 天. 天后每种商品的价格一定可以表示为
,其中 为自然数,且 .
要使 的值最小,五种商品的价格应该分别为： , ,
, , ,其中 为不超过 的自然数.
所以 的最小值为 . 故选 .
6． 已知实数 满足 ,则 的值为 （ ）
. 2008. . 1.
【答】 .
解 ∵ ,
∴ ,
,
由以上两式可得 . 所以 ,解得 ,所以
. 故选 .
二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1．设 ,则 .
解 ∵ ,∴ ,
∴
.
2．如图,正方形 的边长为1, 为 所在直线上的两点,且 , ,则四边形 的面积为
解 设正方形 的中心为 ,连 ,则 , ,
, ∴ .
又 ,
,
所以△ ∽△ ,故 ,从而 .
根据对称性可知,四边形 的面积
.
3．已知一次函数 （ 为整数且 ≠1）的图象与 轴、y轴的交点分别为A、B,且△OAB的面积是正整数,则 ＝ 2 .
解 不难求得A、B两点的坐标分别为（－ ,0）,（0,a）,故
• • ＝
注意到 、a均为整数,故 为整数,于是a－1＝1或－1,即a＝2或0.将此两值分别代入可知a＝0时, ＝0应舍去；a＝2时, ＝2满足题设.故a＝2.
4．依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .
解 到 ,结果都只各占1个数位,共占 个数位；
到 ,结果都只各占2个数位,共占 个数位；
到 ,结果都只各占3个数位,共占 个数位；
到 ,结果都只各占4个数位,共占 个数位；
到 ,结果都只各占5个数位,共占 个数位；
此时还差 个数位.
到 ,结果都只各占6个数位,共占 个数位.
所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是 的个位数字,即为1.
第二试 （A）
一．（本题满分20分） 已知实数 、 、 、 使得方程
对一切实数 均成立,那么当代数式
取到最小值时, ＋ ＋ ＋ 的值为多少?
解 化简原方程,得到：
因为此方程对一切实数x均成立,故得到：
b－a＝c＋d ①
－ab－24＝cd ② ……………… 5分
而① －②×2,则有：
a ＋b ＋48＝c ＋d ③ ……………… 10分
将①、②、③式代入所求代数式中,有：
原式＝a ＋b ＋a ＋b ＋48－24－4a－4b＋8(b－a)＋10
＝2a ＋2b －12a＋4b＋34
＝2(a－3) ＋2(b＋1) ＋14 ……………… 15分
故在a－3＝0,b＋1＝0,即a＝3,b＝－1时,该式取到最小值14,此时c＋d＝－1－3＝－4,于是
a＋b＋c＋d＝3＋(－1)＋(－4)＝－2 ……………… 20分
二．（本题满分25分） △ABC中,∠B＝90°,M为AB上一点,使得AM＝BC,N为BC上一点,使得CN＝BM,连AN、CM交于P点.试求∠APM的度数,并写出你的推理证明的过程.
解 的度数为45 . ……………… 5分
证明过程如下：过点M作AB的垂线MD,使MD＝CN,连接DA、DN,于是
因为 MD‖CN且MD＝CN,所以四边形MDNC是平行四边形 …… 10分
从而 ,又因为CN=BM,得到DM＝BM,进而在△DMA与△MBC中,
所以△DMA≌△MBC …………………… 15分
这样DA＝MC,而MC=DN,所以DN＝DA. 又因为∠ADN＝∠ADM＋∠MDN＝∠ADM＋∠MCN＝∠ADM＋∠DAM＝90 ,所以得到△ADN是一个等腰直角三角形. …………………… 20分
所以∠AND＝45 ,利用MC‖DN,从而得到∠APM=∠AND＝45 …………………… 25分
三．（本题满分25分）设 为质数, 为正整数,且
（1）
求 , 的值.
解 （1）式即 ,设 ,则
（2）
故 ,又 ,所以 （3） ……………………5分
由（1）式可知, 能被509整除,而509是质数,于是 能被509整除,故 为整数,即关于 的一元二次方程（3）有整数根,所以它的判别式 为完全平方数.………………10分
不妨设 （ 为自然数）,则 .
由于 和 的奇偶性相同,且 ,所以只可能有以下几种情况：
① 两式相加,得 ,没有整数解.
② 两式相加,得 ,没有整数解.
③ 两式相加,得 ,没有整数解.
④ 两式相加,得 ,没有整数解.
⑤ 两式相加,得 ,解得 .
⑥ 两式相加,得 ,解得 ,而 不是质数,故舍去.
综合可知 . …………………………………20分
此时方程（3）的解为 或 （舍去）.
把 , 代入（2）式,得 .…………………………………25分
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