函数与方程已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a＜0）a,b∈R.设方程f(x)=x的两根为α,β.①若｜α-β｜=1,求a与b的关系式.②若a、b均为负整数且｜α-β｜=1,求f（x）的解析式.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 17:03:27
函数与方程已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a＜0）a,b∈R.设方程f(x)=x的两根为α,β.①若｜α-β｜=1,求a与b的关系式.②若a、b均为负整数且｜α-β｜=1,求f（x）的解析式.
函数与方程
已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a＜0）a,b∈R.设方程f(x)=x的两根为α,β.
①若｜α-β｜=1,求a与b的关系式.
②若a、b均为负整数且｜α-β｜=1,求f（x）的解析式.
函数与方程已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a＜0）a,b∈R.设方程f(x)=x的两根为α,β.①若｜α-β｜=1,求a与b的关系式.②若a、b均为负整数且｜α-β｜=1,求f（x）的解析式.
f(x)=x的两根为α,β
则
ax^2+3x+b=0两根为α,β
根据韦达定理有
α+β=-3/a
α*β=b/a
|α-β|²=（α+β）²-4α*β=9/a²-4b/a=1
9-4ab=a²
2）
由f(x)=x可得到方程：ax^2+3x+b=0有两实根的前提是9-4ab>0
由于a,b均为负整数,那么就只有2种可能：a=-1或者-2,b=-1或者-2.
根据第一问有 a、b均为负整数
9-4ab=a²
由此可得：
a=-1,b=-2
f(x)=-x^2+4x-2
f(x)=ax²+4x+b
(1)f(x)=ax²+4x+b=x
→ax²+3x+b=0
|α-β|=(α-β)²=(α+β)²-4αβ=9/a²-4b/a=1
a²+4ab-9=0……①
(2)f(x)=ax²+4x+b=0
→△=16-4ab＞0
0＜ab＜4……②
由①和②
a=-1；b=-2
f(x)=-x²+4x-2
(1)a^2+4ab-16=0
(2)由（1）结果可知a（a+4b）=9,又a，b都是负整数，所以a=-1，-3，-9。经排除，得a=-1，b=-2。所以f（x）=-x^2+4x-2