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2008年河北省高中数学竞赛试题
（时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数 的图像过点（-1，3），则函数 的图像关于 轴对称的图形一定过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
2．把2008表示成两个整数的...

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2008年河北省高中数学竞赛试题
（时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数 的图像过点（-1，3），则函数 的图像关于 轴对称的图形一定过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4 B 6 C 8 D 16
3．若函数 有最小值，则a的取值范围是（ ）．
A B C D
4．已知 则 的最小值是（ ）．
A B C 2 D 1
5．已知 ，则 的取值范围是（ ）．
A B C D
6．函数 是 上的单调递增函数，当 时， ，且 ，则 的值等于（ ）．
A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）
7．设集合 ， 是S的子集，且 满足： ， ，那么满足条件的子集的个数为 ．
8．已知数列 满足 ，则 =___ .
9．已知坐标平面上三点 ， 是坐标平面上的点，且 ，则 点的轨迹方程为 ．
10． 在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ．则三棱锥 体积的最大值为 ．
11． 从m个男生，n个女生（ ）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为 ．
12． 是平面上不共线三点，向量 ， ，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量 ．若 ， ，则 的值是 ____ ____．
三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）
13． 是两个不相等的正数，且满足 ，求所有可能的整数c,使得 .
14．如图，斜三棱柱 的所有棱长均为 ，侧面 底面 ，且 .
（1） 求异面直线 与 间的距离；
（2） 求侧面 与底面 所成二面角的度数．
15．设向量 为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量 ， ，且 ．
（1）求满足上述条件的点 的轨迹方程；
（2）设 ，问是否存在常数 ，使得 恒成立？证明你的结论．

16．在数列 中， ， 是给定的非零整数， ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）证明：从 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
17． 设定义在[0，2]上的函数 满足下列条件：
①对于 ，总有 ，且 ， ；
②对于 ，若 ，则 ．
证明：（1） （ ）；（2） 时， ．
2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准
（时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数 的图像过点（-1，3），则函数 的图像关于 轴对称的图形一定过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
答案：B.
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4 B 6 C 8 D 16
答案：C.
设 ，即 ．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且 与 只能同为偶数，因此对应的方程组为

故 共有8组不同的值： ； ．
3．若函数 有最小值，则a的取值范围是（ ）．
A B C D
答案：C．
当 时， 是递减函数，由于 没有最大值，所以 没有最小值；当 时， 有最小值等价于 有大于0的最小值．这等价于 ，因此 ．
4．已知 则 的最小值是（ ）．
A B C 2 D 1
答案：A.
记 ，则 ， ，（当且仅当 时取等号）．故选A．
5．已知 ，则 的取值范围是（ ）．
A B C D
答案：D．
设 ，易得 ，即 ．由于 ，所以 ，解得 ．
6．函数 是 上的单调递增函数，当 时， ，且 ，则 的值等于（ ）．
A 1 B 2 C 3 D 4
答案：B
（用排除法）令 ，则得 ．
若 ，则 ，与 矛盾；
若 ，则 ，与“ 在 上单调递增”矛盾；
若 ，则 ，也与“ 在 上单调递增”矛盾．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）
7．设集合 ， 是S的子集，且 满足： ， ，那么满足条件的子集的个数为 ．
答案：371．
当 时， 有 种选择方法， 有6种选择方法，所以 共有 种选择方法；当 时，一旦 取定， 有 种选择方法， 有 种选择方法，所以选择 的方法有 种．
综上，满足条件的子集共有371个．
8．已知数列 满足 ，则 =___ .
答案： ．
由已知得 ，且 ．
所以 ，即{ }是首项、公差均为1的等差数列，所以 =n，即有 .
9．已知坐标平面上三点 ， 是坐标平面上的点，且 ，则 点的轨迹方程为 ．
答案： .
如图，作正三角形 ，由于 也是正三角形，所以可证得 ≌ ，所以 ．
又因为 ，所以点 共线．
，所以P点在 的外接圆上，又因为 ，所以所求的轨迹方程为
．
10． 在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ．则三棱锥 体积的最大值为 ．
答案： .
设 ，根据余弦定理有 ，
故 ， ．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以 .事实上，取 ， 且 时，可以验证满足已知条件，此时 ，棱锥的体积可以达到最大．
11． 从m个男生，n个女生（ ）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为 ．
答案:（10，6）.
，由于 ，所以 ，整理得 ．即 是完全平方数，且 ，因此
， ，解得 （不合条件）， .
所以 ．
12． 是平面上不共线三点，向量 ， ，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量 ．若 ， ，则 的值是 ____ ____．
答案:8．
如图, 是线段AB的垂直平分线， ，
， ，

．
三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）
13． 是两个不相等的正数，且满足 ，求所有可能的整数c,使得 .
由 得 ,所以 ,
由此得到 .
又因为 ,故 .………………………4分
又因为 , 令 则 .……………6分
当 时， 关于t单调递增，所以 ， .
因此 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分
14．如图，斜三棱柱 的所有棱长均为 ，侧面 底面 ，且 .
（1） 求异面直线 与 间的距离；
（2） 求侧面 与底面 所成二面角的度数．
（1）如图，取 中点D，连 .
.
,
∴ .
由 .……………4分
‖ ‖平面 .
所以异面直线 与 间的距离等于 .……………6分
（2）如图，

………………………………..……8分
.……………………12分
15．设向量 为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量 ， ，且 ．
（1）求满足上述条件的点 的轨迹方程；
（2）设 ，问是否存在常数 ，使得 恒成立？证明你的结论．
（1）由条件 可知： .
由双曲线定义，得点P的轨迹方程： .…………………4分
（2）在第一象限内作 ，此时 ．…………………………………….………………….……6分
以下证明当PF与x轴不垂直且P在第一象限时， 恒成立．

由 ，得 .
代入上式并化简得 ……10分

由对称性知，当P在第四象限时，同样成立．
故存在常数 ，使得 恒成立．………………….………12分
16．在数列 中， ， 是给定的非零整数， ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）证明：从 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
（1）∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，……
∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故 =1．……4分
（2）首先证明数列 必在有限项后出现零项．假设 中没有零项，
由于 ，所以. 时，都有 ．……………………6分
当 时， （ ）；
当 时， （ ），
即 的值要么比 至少小1，要么比 至少小1．…………………8分
令 ， ，则 ．
由于 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项 ，这与 矛盾，从而 中必有零项．……………………………………………………….……10分
若第一次出现的零项为 ，记 ，则自第 项开始，每三个相邻的项周期地取值 ，即 ，
所以数列 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分
17． 设定义在[0，2]上的函数 满足下列条件：
①对于 ，总有 ，且 ， ；
②对于 ，若 ，则 ．
证明：（1） （ ）；（2） 时， ．
证明：由 知，函数 图像关于直线 对称，则根据②可知：对于 ，若 ，则 ．……………2分
设 ，且 ，则 ．
∵
,
∴ 在[0，1]上是不减函数．………………………………………………4分
（1）∵ ,
∴
．…………………………………………………………8分
（2）对于任意 ，则必存在正整数 ，使得 .
因为 在（0，1）上是不减函数，所以 ，
由（1）知 .
由①可得 ，在②中，令 ，得 ，∴ ．
而 ，∴ ，又 ，∴ ，
∴ 时， ．.………………………………………12分
∵ 时， ，且 ，∴ ，
因此， 时， ．…………………….………….14分

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