求此立体几何选择题线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别为AB,CD中点,为什么有MN小于(AC+BD)\2

求此立体几何选择题线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别为AB,CD中点,为什么有MN小于(AC+BD)\2
求此立体几何选择题
线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别为AB,CD中点,为什么有MN小于(AC+BD)\2

求此立体几何选择题线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别为AB,CD中点,为什么有MN小于(AC+BD)\2
知识点：两边之和大于第三边（作与AB平行的辅助线,连接三条线段中点,且顺次连接端点）

如图，作AD平行线得MD'，作BC平行线得MC'，连接ND'，NC'。

易知，AB//DD'//CC'。由此得到<NDD'=<NCC'。

由AM=BM得到DD'=CC'。

由DD'=CC'，<NDD'=<NCC'，ND=NC得到两个三角形全等，则D'NC'同线且ND'=NC'，

NM为三角形MD'C'中线。故NM<1/2(AD+BC)。

当线段AB,CD平行同向（即组成的四边形为ABDC）且相等时，MN等于(AC+BD)\2；当线段AB,CD平行反向（即组成的四边形为ABCD）且相等时，MN等于(AD+BC)\2，因为（AC+BD）总大于(AD+BC)，故有MN小于(AC+BD)\2；当线段AB,CD平行同向（即组成的四边形为ABDC）且不等则有梯形中位线定理得MN小于(AC+BD)\2；当线段AB,CD平行反向（即组成的四边形为...

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当线段AB,CD平行同向（即组成的四边形为ABDC）且相等时，MN等于(AC+BD)\2；当线段AB,CD平行反向（即组成的四边形为ABCD）且相等时，MN等于(AD+BC)\2，因为（AC+BD）总大于(AD+BC)，故有MN小于(AC+BD)\2；当线段AB,CD平行同向（即组成的四边形为ABDC）且不等则有梯形中位线定理得MN小于(AC+BD)\2；当线段AB,CD平行反向（即组成的四边形为ABCD）且不等，MN小于(AD+BC)\2，因为（AC+BD）总大于(AD+BC)，故有MN小于(AC+BD)\2。
因为易知当线段AB,CD所在直线异面，AC、BD总小于当线段AB,CD所在直线平行时AC、BD长，故得知MN小于(AC+BD)\2

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