求椭圆16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 15:33:40
求椭圆16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
求椭圆16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
求椭圆16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
椭圆方程化为x²/9+y²/16=1,设x=3cosθ,y=4sinθ,是椭圆上的点,则点(3cosθ,4sinθ)到直线x+y=7的距离为
d=|3cosθ+4sinθ-7|/√(1²+1²)
=|5sin(θ+arctan(3/4))-7|/√2
当θ=π/2-arctan(3/4)时,5sin(θ+arctan(3/4))=5sin(π/2)=5
|5sin(θ+arctan(3/4))-7|/√2取最小值√2
所以最短距离为√2.
知识点:
1.椭圆参数化:
x^2/a^2+y^2/b^2=1化为:
x=acosa
y=bsina
2。点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0距离公式:
d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
修改:
将椭圆化为标准方程,为:
x^2/9+y^2/16=1
依题,设为参数式方程,即:
x=3co...
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知识点:
1.椭圆参数化:
x^2/a^2+y^2/b^2=1化为:
x=acosa
y=bsina
2。点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0距离公式:
d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
修改:
将椭圆化为标准方程,为:
x^2/9+y^2/16=1
依题,设为参数式方程,即:
x=3cosa
y=4sina
所以椭圆上任意一点到直线距离都可表示为:
d=|3cosa+4sina-7|/根号(1+1)
注:3cosa+4sina=根号(3^2+4^2)sin(a+x)
=|5sin(a+x)-7|/根号2 ---tanx=3/4
因为5sin(a+x)取值范围是:-5到5
所以,取5时最小,为根号2
此时,sin(a+x)=1
当然也可以直接算,但是这样简单!
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椭圆上的点的参数方程是:
x=3sinA
y=4cosA
距离公式为
d=|3sinA+4cosA-7|/根号2
求|3sinA+4cosA-7|的最小值了
由于这个是个绝对值的,所以3sinA+4cosA能尽量靠近7的话,结果就会最小
但是显然,这个3sinA+4cosA的取值范围是[-5,5],(你可以用asinA+bcosA这个形式的求...
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椭圆上的点的参数方程是:
x=3sinA
y=4cosA
距离公式为
d=|3sinA+4cosA-7|/根号2
求|3sinA+4cosA-7|的最小值了
由于这个是个绝对值的,所以3sinA+4cosA能尽量靠近7的话,结果就会最小
但是显然,这个3sinA+4cosA的取值范围是[-5,5],(你可以用asinA+bcosA这个形式的求最值公式计算)
所以,3sinA+4cosA=5的时候是最靠近7的
于是最小值是|5-7|/根号2=根号2
顺便说说最大值,就是|-5-7|/根号2=6*根号2
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到直线最短距离的点A处的切线与直线斜率相同,又直线斜率为-1,可设A为(a,b),对椭圆方程求导得:2x/9+2y*y'/16=0,则有y'=-16x/9y=-1,
于是有-16a/9b=-1, 代入椭圆方程可求出a,b a=9/5,b=16/9,
再点到直线的距离公式得:d=根号2
其实椭圆可以转化成一个圆来计算。
令x=3X,y=4Y 在XoY坐标系下,椭圆16x^2+9y^2=144转化成圆X^2+Y^2=1,直线方程x+y=7转化成3X+4Y=7。则所求最值问题转化成圆上线的一点到直最短的距离。圆上的一点到直最短的距离 d=[|0+0-7|/(3^2+4^2)^1/2]-1=2/5.
因此,所求的最短距离为<...
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其实椭圆可以转化成一个圆来计算。
令x=3X,y=4Y 在XoY坐标系下,椭圆16x^2+9y^2=144转化成圆X^2+Y^2=1,直线方程x+y=7转化成3X+4Y=7。则所求最值问题转化成圆上线的一点到直最短的距离。圆上的一点到直最短的距离 d=[|0+0-7|/(3^2+4^2)^1/2]-1=2/5.
因此,所求的最短距离为
2/5*{[(3^2+4^2)^1/2]/[(1^2+1^2)^1/2]}=2^1/2
而且这种方法可以解决椭圆与直线相交,相离,相切的问题,而且很快的!
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√2。
最很简单的方法:
椭园16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短和最远距离,都是平行于直线的椭园上点的切线L.
设L:y=-x+b
16x^2+9y^2=144
16x^2+9(-x+b)^2=144
25x^2-18bx+9b^2-144=0
上方程的判别式=0,即
(-18b)^2-4*25*(9b^2-144)=0
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最很简单的方法:
椭园16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短和最远距离,都是平行于直线的椭园上点的切线L.
设L:y=-x+b
16x^2+9y^2=144
16x^2+9(-x+b)^2=144
25x^2-18bx+9b^2-144=0
上方程的判别式=0,即
(-18b)^2-4*25*(9b^2-144)=0
b^2=25
椭圆上点与直线距离最短的切线:y=-x+5,最长距离的切线:y=-x-5
直线的斜率=-1,直线y=-x+5与直线x+y=7在Y轴上的截距=2
所以椭圆16x^2+9y^2=144上的点到直线x+y=7的最短距离=√2
或者随便找出两直线上的任何一点,再用点到直线的距离公式即可求解.
如y=-x+5,x=0,y=5
(0,5)到直线x+y=7的距离=|5-7|/√2=√2
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