已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程?(2)若A.B是轨迹C的动弦,且A.B过F（0,2）分别以A.B为切点做轨迹的切线方程,设两切线交点为Q,证明AQ垂直BO?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 18:35:51
已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程?(2)若A.B是轨迹C的动弦,且A.B过F（0,2）分别以A.B为切点做轨迹的切线方程,设两切线交点为Q,证明AQ垂直BO?
已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程?
(2)若A.B是轨迹C的动弦,且A.B过F（0,2）分别以A.B为切点做轨迹的切线方程,设两切线交点为Q,证明AQ垂直BO?
已知动圆过定点F(0,2)且与定直线y=-2相切,（1）求动圆圆心的轨迹C的方程?(2)若A.B是轨迹C的动弦,且A.B过F（0,2）分别以A.B为切点做轨迹的切线方程,设两切线交点为Q,证明AQ垂直BO?
(1) 设动圆圆心为(x,y),则因为动圆与定直线y=-2相切,其半径必为 |y-(-2)|=|y+2|.
所以,动圆的方程（以x‘,y’为自变量）为：(x'-x)^2 + (y'-y)^2 = (y+2)^2
而动圆过定点F(0,2),即(0,2)始终满足方程,所以：(0-x)^2 + (2-y)^2 = (y+2)^2
化简,得动圆圆心的轨迹C的方程：y= x^2 / 8
是一条抛物线.
(2) A.B是轨迹C的动弦,即A,B的坐标满足轨迹C的方程.设A为(xa,ya),B为(xb,yb),
则因QA是轨迹C的切线,其斜率为 xa / 4,同样,QB斜率为 xb / 4 .
而AB过F（0,2）,且A,B在轨迹C上,所以,
ya=xa^2/8,yb=xb^2/8,(ya-2)/xa=(yb-2)/xb
以前两式代入第三式,化为：(1/8) (xa xb +16) (xa-xb) = 0.
显然,AB是轨迹C的动弦,xa不可能等于xb,所以,只有 xa xb = -16.
所以,QA与QB的斜率乘积为 (xa / 4) * (xb / 4) = -1,
所以 QA与QB垂直.
（题目打错了吧,是QB或BQ,怎么是BO呢?BO,如果O是原点的话,也没必要过B做切线 了,直接过A的切线和BO垂直就完了）
【1】轨迹C:x²=8y. 【2】参数法，可设点A(4a,2a²),B(4b,2b²).则过A,B两个点的切线方程分别为：ax=y+2a²,bx=y+2b².解这个关于x,y的方程，可得点Q的坐标Q(2a+2b,2ab),又动弦恒过定点F(0,2),由三点共线可得ab=-1.由直线斜率公式，可求得直线AQ和BQ的斜率分别为a,b.结合ab=-1,可...
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【1】轨迹C:x²=8y. 【2】参数法，可设点A(4a,2a²),B(4b,2b²).则过A,B两个点的切线方程分别为：ax=y+2a²,bx=y+2b².解这个关于x,y的方程，可得点Q的坐标Q(2a+2b,2ab),又动弦恒过定点F(0,2),由三点共线可得ab=-1.由直线斜率公式，可求得直线AQ和BQ的斜率分别为a,b.结合ab=-1,可知，AQ⊥BQ.
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