幂级数证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 04:52:03
幂级数证明题幂级数证明题幂级数证明题(1)a_n+a_(n+2)=(-1)^n·∫{π/4,π/2}(cot(x)^n+cot(x)^(n+2))dx=(-1)^n·∫{π/4,π/2}cot(x)^
幂级数证明题
幂级数证明题 
幂级数证明题
(1) a_n+a_(n+2) = (-1)^n·∫{π/4,π/2} (cot(x)^n+cot(x)^(n+2))dx = (-1)^n·∫{π/4,π/2} cot(x)^n/sin²(x)dx
= (-1)^n·∫{π/4,π/2} -cot(x)^n·(cot(x))'dx = (-1)^n/(n+1)
是绝对值递减趋于0的交错级数,由Leibniz判别法,级数收敛.
(2) 由上面的计算,0 < |a_n| = ∫{π/4,π/2} cot(x)^n dx < 1/n.
∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ被收敛级数∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)逐项控制,故∑{1≤n≤∞} a_n/n^λ绝对收敛.