代数最值竞赛若x,y,z为实数,且x平方-xy+y平方=z,x立方+y立方=z立方,求z可能取得的最大值

代数最值竞赛若x,y,z为实数,且x平方-xy+y平方=z,x立方+y立方=z立方,求z可能取得的最大值
代数最值竞赛
若x,y,z为实数,且x平方-xy+y平方=z,x立方+y立方=z立方,求z可能取得的最大值

代数最值竞赛若x,y,z为实数,且x平方-xy+y平方=z,x立方+y立方=z立方,求z可能取得的最大值
x^2-xy+y^2=z
x^3+y^3=z^3
求zmax
解
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)＝z(x+y)=z^3
z^2=x+y
z=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=z^4-3xy
xy=(z^4-z)/3
所以由韦达定理
x,y为方程k^2-z^2*k+(z^4-z)/3=0的根
delta=z^4-4/3*(z^4-z)=-1/3*z^4+4/3*z=z/3*(4-z^3)>=0
所以z^3<=4
z<=(三次根号下)4
z最大值为(三次根号下)4