数形结合思想题目给我一些运用数形结合思想的题目.急用!在线等!(4个即可,要有答案)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 03:01:07
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数形结合思想题目
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【例题分析】
例1.若关于 的方程 的两根都在 之间,求 的取值范围.
分析:令 ,其图象与 轴交点的横坐标就是方程 的解,由 的图象可知,要使二根都在 之间,只需
同时成立,解得 ,故
例2.解不等式
常规解法:原不等式等价于(I) 或(II)
解(I)得 ;解(II)得
综上可知,原不等式的解集为
数形结合解法:令 ,则不等式 的解就是使 的图象在 的上方的那段对应的横坐标.
如下图,不等式的解集为 ,而 可由 解得 ,故不等式的解集为
例3.已知 ,则方程 的实根个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个
分析:判断方程的根的个数就是判断图象 的交点个数,画出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选B.
例4.如果实数 满足 ,则 的最大值为( )
A.B.C.D.
分析:等式 有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,圆心为 ,半径 ,而 则表示圆上的点 与坐标原点(0,0)的连线的斜率,如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点 在以(2,0)为圆心,以 为半径的圆上移动,求直线 的斜率的最大值,由下图可见,当点 在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最大值为
例5.已知 满足 的最大值与最小值.
分析:对于二元函数 在限定条件 下求最值问题,常采用构造直线的截距的方法来求之.
令 ,原问题转化为:在椭圆 上求一点,使过该点的直线斜率为3,且在 轴上的截距最大或最小,由图形知,当直线 与椭圆 相切时,有最大截距与最小截距.
由 ,得 ,故 的最大值为13,最小值为 .
例7.点 是椭圆 上一点,它到其中一个焦点 的距离为2,为 的中点,表示原点,则 ( )
A.B.C.4 D.8
分析:(1)设椭圆另一焦点为 ,(如下图),则 而
又注意到 各为 的中点
是 的中位线
(2)若联想到第二定义,可以确定点 的坐标,进而求 中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出 ,但这样就增加了计算量,方法较之(1)显得有些复杂.
例8.已知复数 满足 ,求 的模与辐角主值的范围.
分析:由于 有明显的几何意义,它表示复数 对应的点到复数 对应的点之间的距离,因此满足 的复数 对应的点 在以(2,2)为圆心,半径为 的圆上,(如下图),而 表示复数 对应的点 到原点 的距离,显然,当点 ,圆心 ,点 三点共线时,取得最值,
的取值范围为
同理,当点 在圆上运动变化时,当且仅当直线 与该圆相切时,在切点处的点 的辐角主值取得最值,利用直线与圆相切,计算,得 ,即

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