若a,b是异面直线,则过a且与b平行的平面是否存在?若存在这样的平面有几个?为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 10:21:27
若a,b是异面直线,则过a且与b平行的平面是否存在?若存在这样的平面有几个?为什么?
若a,b是异面直线,则过a且与b平行的平面是否存在?若存在这样的平面有几个?为什么?
若a,b是异面直线,则过a且与b平行的平面是否存在?若存在这样的平面有几个?为什么?
存在,有一个
1,过直线a上一点存在一条直线c与直线b平行
直线a和直线c所在平面与b平行
2,若存在这样的平面有,2个
那么,过直线a上一点存在两条不同的直线与直线b平行,矛盾
因此,这样的平面只有一个.
有呀，不过只有一个。
作法：
作b的平行线c与a相交，ac相交得到一个面
b就和这个面平行，（根据直线和平面内一条直线平行好么直线就和这个面平行）
因为这样作出的直线c虽然可以作很多条（c1c2c3c4c5c6c7c.........）但它们都在上述的平面内
所以只有一个这样的平面...
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有呀，不过只有一个。
作法：
作b的平行线c与a相交，ac相交得到一个面
b就和这个面平行，（根据直线和平面内一条直线平行好么直线就和这个面平行）
因为这样作出的直线c虽然可以作很多条（c1c2c3c4c5c6c7c.........）但它们都在上述的平面内
所以只有一个这样的平面
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肯定没有，呵呵，异面直线啊，不可能共面的，谢谢！
存在，有一个，证明如下：把b平行移动直到和a相交，设新直线为b1，这样a和b1确定的平面唯一且与b平行，设为平面c。反证：假设还有一平面与b平行且不是平面c，设为平面c1，则c1一定与b1平行或穿过b1，且穿过a。设c1与b1平行，显然是不可能的，因为c1穿过a，一定与b1有交点，所以c1穿过b1，而穿过a和b1的平面只有一个，所以得证。...
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存在，有一个，证明如下：把b平行移动直到和a相交，设新直线为b1，这样a和b1确定的平面唯一且与b平行，设为平面c。反证：假设还有一平面与b平行且不是平面c，设为平面c1，则c1一定与b1平行或穿过b1，且穿过a。设c1与b1平行，显然是不可能的，因为c1穿过a，一定与b1有交点，所以c1穿过b1，而穿过a和b1的平面只有一个，所以得证。
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过a且与b平行的平面有且只有一个。
因为a,b是异面直线，所以a，b不平行，不相交。在a上任取一点A，过A可以做一条与b平行的直线c。a，c是相交直线，可以确定一个平面M。那么现在来验证一下b是不是在M中，假设b也是M上的线，那么因为a是M上的线，这样a，b就都是M上的线，与a,b是异面直线的条件矛盾，所以b不在M上。这个M就是过a且与b平行的平面。
现在再验证这样的平面只有一个。...
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过a且与b平行的平面有且只有一个。
因为a,b是异面直线，所以a，b不平行，不相交。在a上任取一点A，过A可以做一条与b平行的直线c。a，c是相交直线，可以确定一个平面M。那么现在来验证一下b是不是在M中，假设b也是M上的线，那么因为a是M上的线，这样a，b就都是M上的线，与a,b是异面直线的条件矛盾，所以b不在M上。这个M就是过a且与b平行的平面。
现在再验证这样的平面只有一个。设任取a上两个点A1，A2做与b平行的直线c1，c2。因为c1，c2都与b平行，所以c1与c2平行，那么c1与c2就在同一个平面内，因为a有两个点（A1，A2）在这个平面上，所以a，c1，c2三条线是共一个平面的，因此这样的平面只能做一个。
所以得到结论过a且与b平行的面有且只有1个。
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