如何在弹性力学中的最小势能原理的基础上发展成为有限元方法

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/08 11:24:57

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如何在弹性力学中的最小势能原理的基础上发展成为有限元方法
试函数为许可位移场,即只需要满足位移条件,而不必满足外力条件；积分中试函数的最高阶导数较低；整个方法为计算一个全场（几何域）的积分（物理含义为整个区域的能量）；由求取积分问题的最小值（即使其势能为最小）,可将原方程的求解化为线性方程组的求解；整个方法的处理流程比较规范.
可以看出,以上的变分方法提法完全是从纯数学的角度来描述的,只是用方程、泛函（复合函数）、极值等术语来进行表达和推导,而没有考虑背后的物理含义.最小势能原理和虚功原理的提法为物理提法,它们有相应的物理量表达和物理意义.
微分形式的求解方法与积分形式的求解方法有着本质上的不同,正是引入了试函数,使得求解的难度大大降低.由于工程问题非常复杂,要求所采用的方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性.而基于最小势能原理的求解方法具有较明显的综合优势,因此,可以在该原理的基础上发展出能广泛适用于工程中任意复杂问题的求解方法,但必须处理的技术难点是：●复杂物体的几何描述,●试函数（许可位移场）的确定与选取（规范化形式）,●全场试函数的表达.
因此,在具备大规模计算能力的前提下,将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状的几何体,再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建,然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组,这就是有限元方法的基本思路.

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