E为AB上一动点,以AE为斜边做等腰直角三角形ADE,P为BE的重点,连接PO,PD试问线段PO,PD是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 02:11:11
E为AB上一动点,以AE为斜边做等腰直角三角形ADE,P为BE的重点,连接PO,PD试问线段PO,PD是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
E为AB上一动点,以AE为斜边做等腰直角三角形ADE,P为BE的重点,连接PO,PD
试问线段PO,PD是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
E为AB上一动点,以AE为斜边做等腰直角三角形ADE,P为BE的重点,连接PO,PD试问线段PO,PD是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
首先要说你给的条件少,应该说明OA=OB
结论是PO=PD,且PO⊥PD
辅助线：延长DE与y轴交于点F,连接FP
易证△PDE≌△POF（SAS）
所以PO=PD,∠EPD=∠FPO,
又∠EPF=90度,所以,∠EPF=∠OPD=90度
所以PO⊥PD
证明:取AE的中点M,AB的中点N,连接DM,ON. ∵⊿ADE与⊿AOB均为等腰直角三角形. ∴∠DMP=∠ONB=90°;DM=AE/2,ON=AB/2;AM=ME,AN=BN. P为BE的
PO=PD且PO⊥PD，
如图，延长DP到点C，使DP=PC，连接CP、OD、OC、BC，
在△DEP和△CBP，DP=PC∠DPE=∠CPBPE=PB．
∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
则∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
全部展开
PO=PD且PO⊥PD，
如图，延长DP到点C，使DP=PC，连接CP、OD、OC、BC，
在△DEP和△CBP，DP=PC∠DPE=∠CPBPE=PB．
∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
则∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
∴∠DAO=90°，
在△OAD和△OBC，DA=CB∠DAO=∠CBOOA=OB，
∴△OAD≌△OBC，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．
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作DF⊥AB于F OG⊥AB于G
∵△ADE △AOB都为等腰直角三角形
∴AG=BG=OG AF=EF=DF
又P为BE的中点
∴EP=BP
∴FP=FE+EP=AE/2+BE/2=AB/2=OG
PG=BG-BP=AB/2-BE/2=AE/2=DF
∴Rt△FDP≌Rt△GPO
∴PD=PO
∴∠DPF+∠OPG=∠D...
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作DF⊥AB于F OG⊥AB于G
∵△ADE △AOB都为等腰直角三角形
∴AG=BG=OG AF=EF=DF
又P为BE的中点
∴EP=BP
∴FP=FE+EP=AE/2+BE/2=AB/2=OG
PG=BG-BP=AB/2-BE/2=AE/2=DF
∴Rt△FDP≌Rt△GPO
∴PD=PO
∴∠DPF+∠OPG=∠DPF+∠PDF=90°,
∴PD⊥PO.
采纳我O(∩_∩)O喔，，，
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问一下：AO与BO有什么关系
证明:取AE的中点M,AB的中点N,连接DM,ON.
∵⊿ADE与⊿AOB均为等腰直角三角形.
∴∠DMP=∠ONB=90°;DM=AE/2,ON=AB/2;AM=ME,AN=BN.
P为BE的中点,则ON=AB/2=ME+PE=PM;
又PN=BN-BP=AB/2-BE/2=(AB-BE)/2=AE/2=DM.
∴⊿ONP≌⊿PMD(SAS),PD=PO;...
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证明:取AE的中点M,AB的中点N,连接DM,ON.
∵⊿ADE与⊿AOB均为等腰直角三角形.
∴∠DMP=∠ONB=90°;DM=AE/2,ON=AB/2;AM=ME,AN=BN.
P为BE的中点,则ON=AB/2=ME+PE=PM;
又PN=BN-BP=AB/2-BE/2=(AB-BE)/2=AE/2=DM.
∴⊿ONP≌⊿PMD(SAS),PD=PO;∠OPN=∠PDM.
∴∠DPM+∠OPN=∠DPM+∠PDM=90°,得PD⊥PO.
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