已知映射f:{1,2,3} → {1,2,3},使f[f(x)]=f(x)的函数有多少个?已知映射f:{1,2,3} → {1,2,3},使f[f(x)]=f(x)的函数有多少个?

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已知映射f:{1,2,3} → {1,2,3},使f[f(x)]=f(x)的函数有多少个?
已知映射f:{1,2,3} → {1,2,3},使f[f(x)]=f(x)的函数有多少个?

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n年前的一道高考题

设y=f（x），则f（y）=y，此函数的定义域包含于{1，2，3}，则y的定义域有以下三种类型：
1） y的定义域只有一个数字的，三种情况：此时函数为：
f（1）=1 f（1）=2 f（1）=3
f（2）=1 or f（2）=2 or ...

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设y=f（x），则f（y）=y，此函数的定义域包含于{1，2，3}，则y的定义域有以下三种类型：
1） y的定义域只有一个数字的，三种情况：此时函数为：
f（1）=1 f（1）=2 f（1）=3
f（2）=1 or f（2）=2 or f（2）=3
f（3）=1 f（3）=2 f（3）=3
显然满足题中条件。
2） y的定义域有两个数字的，三种情况，以其中的某一情况为例，不妨设y的定义域为{1，2}，则只要定义f（1）=1，f（2）=2，至于f（3），f（3）=1或者f（3）=2都能满足条件，（f（3）不能等于3）。对于y的定义域为{1，3}，则只要定义f（1）=1，f（3）=3，至于f（2），f（2）=1或者f（2）=3都能满足条件，（f（2）不能等于2）。所以这种情况有六个函数满足条件。
3） y的定义域有三个数字的，只有一种情况，此时的函数只能为
f（1）=1
f（2）=2
f（3）=3
也满足题中条件。所总共有3+6+1=10种满足条件的函数。
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