点M(x,y)在椭圆x^2/2+y^=1上,求x+y的最小值和y+2/x+2的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 21:37:52
点M(x,y)在椭圆x^2/2+y^=1上,求x+y的最小值和y+2/x+2的最大值
点M(x,y)在椭圆x^2/2+y^=1上,求x+y的最小值和y+2/x+2的最大值
点M(x,y)在椭圆x^2/2+y^=1上,求x+y的最小值和y+2/x+2的最大值
1
设x+y=t,与x^2/2+y^=1联立,
消去y得：x^2+2(t-x)^2-2=0
即3x^2-4tx+2t^2-2=0
方程有解,故
Δ=16t^2-12(2t^2-2)≥0
∴8t^2≤24
∴-√3≤t≤√3
∴x+y的最小值是-√3
2
设（y+2）/（x+2）=t
∴y=tx+2t-2与x^2/2+y^2=1联立,
消去y得：x^2+2(tx+2t-2)^2-2=0
即 (1+2t²)x²+8t(t-1)x+8(t-1)²-2=0
方程有解,故
Δ=64t²(t-1)²-4(1+2t²)[8(t-1)²-2]≥0
t²-4t+3≤0
解得1≤t≤3
设k=x+y,y=k-x代入得到:x^2/2+(k^2-2kx+x^2)=1
3x^2-4kx+2k^2-2=0
判别式=16k^2-12(2k^2-2)>=0
8k^2<=24
k^2<=3
-根号3<=K<=根号3
故X+Y的最小值是:-根号3.
同样,设K=(Y+2)/(X+2),则有Y=K(X+2)-2
代入到椭圆方程中,得到...
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设k=x+y,y=k-x代入得到:x^2/2+(k^2-2kx+x^2)=1
3x^2-4kx+2k^2-2=0
判别式=16k^2-12(2k^2-2)>=0
8k^2<=24
k^2<=3
-根号3<=K<=根号3
故X+Y的最小值是:-根号3.
同样,设K=(Y+2)/(X+2),则有Y=K(X+2)-2
代入到椭圆方程中,得到关于X的方程,然后用判别式>=0,就可得到k的范围了,从而就得到了K的最大值了.
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