伟达定理和例题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 11:24:15
伟达定理和例题
伟达定理
和例题
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是韦达定理吧
韦达简介
韦达（Vieta's ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎.早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员.在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉.法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进.
韦达定理(Vieta's Theorem）的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的.一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积.
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理.历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性.
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根.因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根.两端比较系数即得韦达定理.
韦达定理在方程论中有着广泛的应用.
韦达定理的证明
设x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解.
根据求根公式,有
x_1=[-b + -\sqrt (b^2-4ac)]/2a,
所以
x_1+x_2=[-b +(-) \sqrt (b^2-4ac)]/2a+[-b - \sqrt (b^2-4ac)]/2a=-b/a