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2011江西省初中数学竞赛初赛试题及答案
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是这个吗 

一. 选择题（每小题 分,共 分）

 、设 为质数,并且 和 也都是质数,若记 ,

则在以下情况中,必定成立的是（    ）．

 、 都是质数；           、 都是合数； 

 、 一个是质数,一个是合数；   、对不同的 ,以上各情况皆可能出现．

答案： ．

当 时, 与 皆为质数,而 ,

 都是质数； 

当质数 异于 时,则 被 除余 ,设 ,于是 ,

 ,它们都不是质数,与条件矛盾!

 、化简 的结果是（   ）．

 、 ；     、 ；      、 ；    、 ．

答案： ．

 ；

 ,

因此,原式 ．

 、 的末位数字是（    ）．

 、 ；   、 ；   、 ；    、 ．

答案： 

 的末位数字按 的顺序循环,而 的末位数字按 的顺序循环,

因为 是 形状的数,所以 的末位数字是 ,而 的末位数字是 ,

所以 的末位数字是 ．

 、方程 的解的情况是(    ).

 、无解；   、恰有一解；  、恰有两个解；  、有无穷多个解．

答案： .

将方程变形为  … ①,分三种情况考虑,

若  ,则①成为  ,即 ,得 ；

若  ,则①成为  ,即 ,得 ；

若  ,即 时,则①成为  ,即 ,这是一个恒等式,满足 的任何 都是方程的解,结合以上讨论,可知,方程的解是满足  的一切实数,即有无穷多个解．

 、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形,则图中全体正三角形的个数是（   ）．

 、 ；   、 ；   、 ；    、 ．

答案： ．

分类计算：设正六边形的边长为 ,那么,边长为 的正三角形有 个,边长为 的正三角形有 个,边长为 的正三角形有 个,

共计 个．

 、设 为整数,并且一元二次方程 有等根 ,

而一元二次方程 有等根 ；

那么,以 为根的整系数一元二次方程是（    ）．

 、 ；           、 ； 

 、 ；            、 ．

答案： ．

由两个方程的判别式皆为 ,有 ,以及

 ,即：

 以及 ,消去 得, ,其整根为 ,

于是 ；因此两个方程分别是： 及 ,

前一方程的等根为 ,后一方程的等根为 ,易得,以 为根的整系数一元二次方程是 ．

二、 填空题（每小题 分,共 分）

 、直角三角形 的三条边长分别为 ,若将其内切圆挖去,则剩下部分的面积等于          ．

答案： ．

 的面积为 ,又设其内切圆的半径为 ,则由

 ,所以 ,因此内切圆面积为 ,故剩下部分的面积为 ．

 、若 ,

则 （       ）．

答案：（ ）．

 ,

由 , , ,解得, ；

因此 ．

 、如图,正方形 的边长为 , 是 边外的一点,满足： ‖ , ,

则          ．

答案： ．

解:  ,设 ,则 , ,

 ,由 ∽ ,得 ,

即有 ,所以 , ,则 ,

再由 ,即 ,所以 ．

 、绕圆周填写了十二个正整数,其中每个数取自 之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）,若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是 的倍数,用 表示圆周上所有十二个数的和,那么数 所有可能的取值情况有         种．

答案： 种．

对于圆周上相邻的三个数 , 可以是 ,或 ,或 ,例如,当三数和为 时, 可以取 或 或 ；又对于圆周上任意相邻的四数,若顺次为 ,由于 和 都是 的倍数,那么必有 ,于是 与 或者相等,或者相差 ；

又在圆周上, 与 可互换, 与 可互换；现将圆周分成四段,每段三个数的和皆可以是 ,或 ,或 ,因此四段的总和可以取到 中的任一个值,总共九种情况． 

（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数： ,其和为 ,然后每次将一个 改成 ,或者将一个 改成 ,每一次操作都使得总和增加 ,而这样的操作可以进行八次）．

第 二 试

一、（ 分）试确定,对于怎样的正整数 ,方程 有正整数解?并求出方程的所有正整数解．

将方程改写为  ,                      …………5’

由于 表成两个正整数的平方和,只有两种不同的形式：  ……10’

所以,

   … ①,或   … ②

   … ③,或   … ④                         …………15’

由①得 （当 或 ）；由②得 （当 或 ）；

由③得  （当  或 ）； 或  （当 或 ）；

由④得 （当 ）；或  （当 或 ）．               …………20’

二、（ 分）锐角三角形 的外心为 ,外接圆半径为 ,延长 ,分别与对边 交于 ；证明： ．

证： 延长 交 于 ,由于 共点 ,

       …………5’

则  … ①                …………10’

而 ,…………15’

同理有,

 ,                                    …………20’

代入①得,  … ②

所以  ．                                     …………25’

三、（ 分）设 为正整数,证明：

1、如果 是两个连续正整数的乘积,那么 也是两个连续正整数的乘积；

2、如果 是两个连续正整数的乘积,那么 也是两个连续正整数的乘积．

证明：1、如果 是两个连续正整数的乘积,设 ,其中 为正整数,……5’则 为两个连续正整数的乘积；                                                              …………10’

2、如果 是两个连续正整数的乘积,设 ,其中 为正整数,则  … ①                        …………15’

于是, 是 的倍数,且 是奇数；设 ,由①得,

  … ②                                …………20’

因此,

 ,即 ,它是两个连续正整数的乘积．……25’