二次函数的原理是什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:47:56
二次函数的原理是什么?
二次函数的原理是什么?
二次函数的原理是什么?
你想了解哪方面?二次函数应用最多的是函数最值.在图像顶点处,自变量取顶点横坐标时,函数取得最值（最值就是顶点纵坐标）.
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二次函数图象一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数.顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2).
目录
基本定义
函数性质
表达式
顶点式交点式三点式（一般式）
函数图像
基本图象轴对称顶点开口决定位置的因素决定交点的因素与x轴交点个数
函数图像
方程关系
学习方法
知识要点误区提醒定义与表达式三种表达式抛物线的性质
常用工具
展开基本定义
函数性质
表达式
顶点式交点式三点式（一般式）
函数图像
基本图象轴对称顶点开口决定位置的因素决定交点的因素与x轴交点个数
函数图像
方程关系
学习方法
知识要点误区提醒定义与表达式三种表达式抛物线的性质
常用工具
展开编辑本段基本定义
二次函数及其图像
一般地,把形如y=ax2+bx+c（其中a,b,c是常数,a≠0,bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function）,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.x为自变量,y为因变量.等号右边自变量的最高次数是2.二次函数图像是轴对称图形.对称轴为直线[1]顶点坐标交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]
注意：“变量”不同于“自变量”,不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”.“未知数”只是一个数（具体值未知,但是只取一个值）,“变量”可在实数范围内任意取值.在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况）,但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同.从函数的定义也可看出二者的差别,如同函数不等于函数的关系.[2-3]编辑本段函数性质
1.二次函数是抛物线,但抛物线不一定是二次函数.开口向上或者向下的抛物线才是二次函数.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P.当时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0时,抛物线与x轴有2个交点.Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.当Δ= b²-4ac0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变;
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0).
7.定义域：R
值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）
①[(4ac-b^2)/4a,+∞）；
②[t,+∞）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上；a0,图象与x轴交于两点：
（[-b+√Δ]/2a,0）和（[-b-√Δ]/2a,0）；
Δ=0,图象与x轴交于一点：
（-b/2a,0）；
Δ0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移.[3]具体可分为下面几种情况：
当h>0时,y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；
当h0,k>0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h>0,k0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0;k0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小）,二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
当a